Geometria espacial e plana.

por RamonLucas Ter 18 Ago 2015, 15:19

Na linha plana ABC da figura, o segmento de reta AB e o arco de circunferência BC concordam em B. Em função de AC = L , determinar a área total do sólido gerado pela revolução da linha ABC em torno do eixo OO' e o volume, máximo, de um octaedro que tem vértices em A e C e os outros sobre a circunferência gerada pela revolução de B em torno do mesmo eixo.

Geometria espacial e plana. 2lm2pvs

Gabarito: ∏L²/2 u.a e l³/18 u.v

por **adriano tavares** Qua 19 Ago 2015, 21:39

Olá,RamonLucas.

Geometria espacial e plana. Osfo6f

$\Delta OAP\rightarrow sen30=\frac{OP}{r}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{OP}{r}\rightarrow OP=\frac{r}{2}$

$\Delta OAP\rightarrow cos30=\frac{AP}{r}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{OP}{r}\rightarrow AP=\frac{\sqrt{3}r}{2}$

$\Delta APC\rightarrow sen30=\frac{AP}{AC}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AP}{AC}\rightarrow AC=\sqrt{3}r$

$CP=CT-OT-OP\rightarrow CP=L-r-\frac{r}{2}\rightarrow CP=\frac{2L-3r}{2}$

$\Delta ACP\rightarrow cos30=\frac{CP}{AC}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=CP=ACcos30$

$\frac{2L-3r}{2}=\sqrt{3}r.\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow r=\frac{L}{3}$

A área forma por ABT é uma zona esférica.

$A_t=A_z+A_{lc}\rightarrow A_t=2\pi r.h +\pi (AP).(AC)\rightarrow A_t=2\pi r.\frac{3r}{2}+\pi \frac{\sqrt{3}r}{2}.\sqrt{3}r$

$A_t=\frac{9}{2}\pi r^{2}\rightarrow A_t=\frac{9}{2}.\frac{L^{2}}{9}.\pi \rightarrow A_t=\frac{\pi L^{2}}{2}$

Note que o tetraedro é formado por duas piramides com uma base quadrada comum.Sendo suas alturas PT e PC.

$PC+PT=L$

$AB=2AP\rightarrow AB=2.\frac{\sqrt{3}r}{2}\rightarrow AB=\sqrt{3}r$

$V=\frac{1}{3}A_b.L\rightarrow V=\frac{1}{3}.\frac{(\sqrt{3}r)^{2}}{2}.L$

$V=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{L^{2}}{9}.L\rightarrow V=\frac{L^{3}}{18}$

por RamonLucas Sex 21 Ago 2015, 22:20

adriano tavares escreveu:Olá,RamonLucas.

$\Delta OAP\rightarrow sen30=\frac{OP}{r}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{OP}{r}\rightarrow OP=\frac{r}{2}$

$\Delta OAP\rightarrow cos30=\frac{AP}{r}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{OP}{r}\rightarrow AP=\frac{\sqrt{3}r}{2}$

$\Delta APC\rightarrow sen30=\frac{AP}{AC}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AP}{AC}\rightarrow AC=\sqrt{3}r$

$CP=CT-OT-OP\rightarrow CP=L-r-\frac{r}{2}\rightarrow CP=\frac{2L-3r}{2}$

$\Delta ACP\rightarrow cos30=\frac{CP}{AC}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=CP=ACcos30$

$\frac{2L-3r}{2}=\sqrt{3}r.\frac{\sqrt{3}}{2}\rightarrow r=\frac{L}{3}$

A área forma por ABT é uma zona esférica.

$A_t=A_z+A_{lc}\rightarrow A_t=2\pi r.h +\pi (AP).(AC)\rightarrow A_t=2\pi r.\frac{3r}{2}+\pi \frac{\sqrt{3}r}{2}.\sqrt{3}r$

$A_t=\frac{9}{2}\pi r^{2}\rightarrow A_t=\frac{9}{2}.\frac{L^{2}}{9}.\pi \rightarrow A_t=\frac{\pi L^{2}}{2}$

Note que o tetraedro é formado por duas piramides com uma base quadrada comum.Sendo suas alturas PT e PC.

$PC+PT=L$

$AB=2AP\rightarrow AB=2.\frac{\sqrt{3}r}{2}\rightarrow AB=\sqrt{3}r$

$V=\frac{1}{3}A_b.L\rightarrow V=\frac{1}{3}.\frac{(\sqrt{3}r)^{2}}{2}.L$

$V=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{L^{2}}{9}.L\rightarrow V=\frac{L^{3}}{18}$