Equações

por **laurorio** Dom 19 Jul 2015, 13:11

Resolva a equação $Equações Gif$ .

por _TNY_ Dom 19 Jul 2015, 14:16

Bom vamos lá, irei considerar x apenas na primeira volta $[0,2\pi]$

$cotg(x) - sen(2x) = 0$

$\frac{cosx}{senx} -2senxcosx=\frac{cosx-2sen^2x.cosx}{senx}=\frac{cosx}{senx}(1-2sen^2x)=0$

Bom agora teremos, cosx=0 e senx ≠0 :

Cosx=0 ----> $x={\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}}$

Senx≠0 ---> $x\neq {0,2\pi}$

Agora faremos a segunda parte da equação: $1-2sen^2x =0$

$sen^2x=\frac{1}{2}$

$senx=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Logo x pertencerá também a família do pi/4.

$x={\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}}$

Resposta para x na primeira volta do arco trigonométrico:

$x={\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}}$

Acho que é isso! ^^

por **Carlos Adir** Dom 19 Jul 2015, 14:18

$\\ \mathrm{cot \ x - sen \ 2x=0} \\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{sen \ x} - 2 \cdot sen \ x \cdot cos \ x=0} \\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{sen \ x} \left(1 - 2sen^2 \ x \right )=0} \\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{sen \ x}\left(cos^2 \ x - sen^2 \ x \right )=0} \\ \mathrm{\dfrac{cos \ x}{sen \ x} \cdot cos \ 2x=0}$
Assim, teremos que, pela condição de existência:
$\mathrm{sen \ x \ne 0 \Rightarrow x \ne k\pi; \ \ k \in \mathbb{Z}}$
Agora, quando é a solução:
$\\ \mathrm{cos \ x=0 \Rightarrow x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi; \ \ k \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{cos \ 2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{n\pi}{2}; \ \ n \in \mathbb{Z}} \\ \mathrm{Disto, \ temos:} \\ \mathrm{x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{m\pi}{4}; \ \ \ m \in \mathbb{Z}}$
Juntando a condição de existência com a solução, teremos:
$\\ \mathrm{x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{m\pi}{4}; \ \ \ m \ne 4t-1; \ \ \ t \in \mathbb{Z}}$

Correção feita

por _TNY_ Dom 19 Jul 2015, 14:22

Carlos Adir o que eu fiz está errado? Pois a família do pi/4 não está pertencendo no seu conjunto solução e no meu apareceu.
Ah beleza. Agora deu certo!

por **laurorio** Dom 19 Jul 2015, 14:35

Galera, o gabarito é $Equações Gif$

por **Carlos Adir** Dom 19 Jul 2015, 14:41

Correção feita, mania de fazer as coisas de cabeça, me confundi e dei a resposta errada. A sua resposta está correta _TNY_
Ah, te lembrando que eixstem os arcos negativos. Considere-os também Very Happy

Eu acho que não existem as soluções:
$\\ \mathrm{x=\dfrac{\pi}{2} +k\pi}$
Porque, cotangente é o inverso da tangente. E não existe tangente nestes arcos.
Mas se tomarmos cotangente = cosseno / seno, então teremos.

por _TNY_ Dom 19 Jul 2015, 15:06

Ah blz, valeu!! Ah vdd. Teria antes de mexer na equação fazer a condição de existência pra tgx diferente de zero, não é? O correto seria isso? O gabarito estaria errado então?

por **Carlos Adir** Dom 19 Jul 2015, 16:14

A função cotangente existe no ponto pi/2, mas não em 0. Isso indica que está faltando informação do gabarito ao não considerar as possibilidades pi/2 + kpi.
A maneira correta seria transformar tudo em seno e cosseno, e verificar apenas quando seno difere de zero, não que o valor da tangente difere de zero. Pois nesse segundo caso, se cos pi/2 = 0 ---> tan pi/2 = inexistente --> cot pi/2 = inexistente.
Mas o correto seria: cos pi/2 = 0 ---> cot pi/2 = (cos pi/2)/(sen pi/2) = 0/1 = 0

Enfim, existe a resposta pi/2.

por **laurorio** Dom 19 Jul 2015, 17:09

Carlos,
Se eu resolvesse a questão por tg alfa = tg beta, não encontraria o gabarito?
Colocando tudo em tg.
alfa = beta + kpi

tgx = +/- 1
x = +/- pi/4 + kpi

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