Equação de Trigonométrica Inversa

por trindadde Sex 10 Jul 2015, 09:12

Olá pessoal!

Estou com dificuldades para resolver uma equação de Arco-Seno.

arcsen(x√3 )= arcsen(2x) − arcsen(x)

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Obs.: não tenho o gabarito
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Grato a quem puder ajudar

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por **Ashitaka** Sex 10 Jul 2015, 15:35

arcsen(√3) não existe.

por trindadde Sex 10 Jul 2015, 15:45

Estranho, esse exercício está numa lista que o professor da faculdade passou.

Mas o que vc disse faz sentido, já que a função seno é limitada entre −1 e 1.

Como √3 é um número maior que 1,

∄ x ∈ ℝ ; sen(x) = √3

Não tinha observado isso. Obrigado!

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por trindadde Sex 10 Jul 2015, 15:51

Ashitaka,

Dei uma olhada no enunciado e ele está errado. O correto é

arcsen(x√3)

O x tinha sido omitido. Vou corrigir no tópico inicial.

Assim, a equação a se solucionar é

arcsen(x√3) = arcsen(2x) − arcsen(x)

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por **Ashitaka** Sex 10 Jul 2015, 15:54

Já tentou resolver com o enunciado corrigido?

por trindadde Sex 10 Jul 2015, 16:00

estou tentando...

por trindadde Sex 10 Jul 2015, 16:32

Consegui, após a correção do enunciado!

Sejam a = arcsen(x√3), b = arcsen(2x), c = arcsen(x), com a, b, c variando entre [−π/2, π/2] (onde podemos trabalhar com o arco-seno).

Assim,

sen(a) = x√3
sen(b) = 2x
sen(c) = x

Daí, ficamos com

a = b − c ou a + c = b

Segue que:

a + c = b ↔ cos(a+c) = cos(b) ↔ cos(a)cos(c) − sen(a)sen(c) = cos(b) ↔ √[1−sen²(a)] ∙ √[1−sen²(b)] −x√3∙x = √[1−sen²(b)]

Desenvolvendo a expressão

√[(1−3x²)(1−x²)] − √(1 − 4x²) = x²√3

Elevei os 2 membros ao quadrado e cheguei numa outra expressão que elevei novamente ao quadrado para eliminar as raízes.
Ao fim disso, fiquei com a expressão

x⁴(4x² −1) = 0

Daí, conclui-se que x = 0 ou x = 1/2 ou x = (−1)/2

Valeu!!!

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