Interseção das diagonais de um losango

por **Adam Zunoeta** Sáb 16 Out 2010, 12:40

O ponto O é a interseção das diagonais $\overline {AC}$ e $\overline {BD}$ de um losango ABCD. Prolonga-se o lado $\overline {AD}$ até um ponto F de modo que $DF= 4 m$ .
Se $\overline {OF}$ encontra $\overline{CD}$ em E e $ED= 2m$ , determine o lado do losango.

Resposta:
$x=8m$

por **Adam Zunoeta** Sáb 16 Out 2010, 17:41

Antes de começar a resolução algumas considerações:
Temos um losango (Quadrilátero plano convexo que possui os quatro lados congruentes)
Todo losango é paralelogramo. Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
Interseção das diagonais de um losango Figura

Interseção das diagonais de um losango Figura

Da figura temos:
$G\hat {O}B \equiv D\hat {O}E$ (opostos pelo vértice)
$B\hat {G}O\equiv O\hat {E}D$ (alternos internos)
$A\hat {B}O\equiv A\hat {D}O$ (pois se trata de um losango)
$\overline {OB}\equiv \overline {OD}$ (diagonais do losango se interceptam-se nos respectivos pontos médios)
Usando o critério ALA de congruência de triângulo temos que:
$\Delta {BGO}\equiv \Delta {ODE}$ , portanto:
$\overline {BG} \equiv \overline {ED}$
Como $\overline {AD}=x$ decorre que $\overline {AG}=x-2$
Como:
$\overline {DE}// \overline {AG}$ pelo teorema fundamental decorre que:
$\Delta {AGF}\sim \Delta {FED}$
Logo temos:
$\frac {4+x}{4}=\frac {x-2}{2}$
Logo:
$x= 8m$
Se tiver alguma consideração incorreta (avisa).
Very Happy