Diagonais de um losango

por Laurabsch Sex 29 Set 2017, 10:58

(Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é:
4√(2-√3 )
É possível chegar a essa resposta a partir de um dos 4 triângulos retângulos que compõem o losango? Ou apenas pela lei dos cossenos?

por **Davi Paes Leme** Sex 29 Set 2017, 11:56

Você pode chegar na resposta pelos 4 triângulos retângulos, mas não por Pitágoras visto que você só tem o valor da hipotenusa.

Você ia ter que achar alguma relação trigonométrica envolvendo um ângulo de 15º, que não é trivial.

Por isso, é mais fácil fazer por lei dos cossenos.

por **Elcioschin** Sex 29 Set 2017, 12:55

Seja AC a diagonal maior e BD a diagonal menor e O o ponto de encontro de ambas:

BÂC = 30º ---> BÂO = 15º
A^BC = 150º ---> A^BO = 75º

AB = 4 ---> OB = AB.cosA^BO ---> OB = 4.cos75º ---> OD = 4.cos75º

BD = OB + OD ---> BD = 8.cos75º

Calcule cos75º = cos(45º + 30º)

por jopagliarin Ter 20 Abr 2021, 09:04

Eu tentei fazer pela lei dos senos mas não deu certo

[url=https://servimg.com/view/20124339/41]

por **Emanuel Dias** Ter 20 Abr 2021, 09:24

jopagliarin escreveu:Eu tentei fazer pela lei dos senos mas não deu certo
[url=https://servimg.com/view/20124339/41]

São iguais, tente obter a resposta do gab com a sua resposta usando radical duplo.

por **Elcioschin** Ter 20 Abr 2021, 11:34

Sua resposta deve ser melhorada:

x = - 2.(√2 - √6) --> a diagonal não pode ser negativa:

x = 2.(√6 - √2) ---> Esta é a resposta correta

Outro modo, usando Lei dos Cossenos:

BD² = AB² + AD² - 2.AB.AD.cos30º

BD² = 4² + 4² - 2.4.4.(√3/2)

BD² = 32 - 16.√3 ---> BD² = 16.(2 - √3) ---> BD = 4.√(2 - √3)

por jopagliarin Ter 20 Abr 2021, 13:46

eu pesquisei, fiz pela leis dos cossenos e radical duplo, mas cheguei no mesmo resultado x = 2.(√6 - √2).

Não sei como colocar raiz dentro de raiz pra chegar na resposta 4√(2-√3 )