Diagonais de um losango

Relembrando a primeira mensagem :

(Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é:
 4√(2-√3 )
É possível chegar a essa resposta a partir de um dos 4 triângulos retângulos que compõem o losango? Ou apenas pela lei dos cossenos?

Se elevar ao quadrado tbm aparece o formato do gabarito:

 x = 2*(√6 - √2) 

.: x² = 4*(6+2-2*√(2*6)) = 16(2-√3) 

Então x = 4√(2-√3).

Jopagliarim

vocẽ diz que já usou a lei dos cossenos; mas é justamente usando esse caminho que obtemos direto a resposta com radical duplo.

Se um ângulo do losango é 30º, então o oposto também é; e os outros dois são 150º cada um, pois são suplementares a estes. Então os ângulos que enxergam as diagonais são 30º e 150º. Como num triângulo o menor ângulo vê o menor lado, então a menor diagonal é vista pelo ângulo de 30º.

Os outros dois lados do triângulo da diagonal menor são lados do losango e medem 4. Portanto temos um triângulo isósceles onde vamos aplicar a lei dos cossenos.

d² = 2.4².(1 - cos30º) = 2.16.(1 - √3/2) = 2.16.(2 - √3)/2 = 16.(2 - √3)
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d = √(16.(2 - √3)) -----=> d = 4.√(2 - √3)