Esboço de gráfico por derivada

por pertinax Seg Jun 29 2015, 17:19

Para um peixe nadando a uma velocidade v em relação a água, a energia gasta por unidade de tempo é

proporcional a v³. Acredita-se que peixes migratórios tentam minimizar a energia total requerida para

nadar uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v), então o tempo

requerido para nadar uma distância L é L/(v-u) e a energia total E requerida para nadar a distância é dada

por E(v) = a*v³ * L/(v-U onde "a" é uma constante de proporcionalidade. Determine o valor de v que minimiza

E e esboce o gráfico de E.

por pertinax Ter Jun 30 2015, 15:56

Alguém me ajude por favor, simplesmente não consigo resolver o exercício...

por **mauk03** Ter Jun 30 2015, 18:37

O valor de v que minimiza E(v) é tal que:
E'(v) = 0 --> d(aLv³/(v - U))dv = 0 --> aL(3v²(v - U) - v³)/(v - U)² = 0 --> 3v²(v - U) - v³ = 0 --> 3(v - U) - v = 0 --> v = 3U/2

O gráfico da função E(v) = aLv³/(v - U) é dado por:
Esboço de gráfico por derivada 2hi7akm

por pertinax Ter Jun 30 2015, 18:47

Obrigado mais uma vez cara, ganhou um admirador hehe Laughing

por **mauk03** Ter Jun 30 2015, 20:27

Vlw cara kkkk

por catwopir Qua Jun 07 2023, 19:30

aoba!

Desculpa reviver o tópicos, mas gostaria muito de uma explicação mais detalhada sobre a montagem de gráfico.

Porque ao meu vê, num faz muito sentindo, já que no ponto v=0 a função tem um valor menor do que o valor "mínimo."

por catwopir Qui Jun 08 2023, 10:48

Não consegui parar de pensar na questão, consegui resolver aqui.

por mais que o enunciado não comente nada, estamos apenas pegando os valores em que e(x)>0.

Dito isso, precisamos montar o gráfico.

Sabemos quem u é uma Ass vertical.

vamos derivar:

[latex]e'(v)=\frac{aLv^2[(v-u)3-v]}{(v-u)^2}[/latex]

devemos achar os pontos críticos:

3v-3u-v=0 -> v=3u/2.

Não sabemos se a máximo ou mínimo, é legal fazer o teste da 2 derivada.

Vamos em busca da segunda derivada.

[latex]e''(v)=aL [\frac{2v^3-3v^2u}{(v-u)^2}]'\\ e''(v)=aL[\frac{(6v^2-6vu)(v-u)^2-2(v-u)(2v^3-3v^2u)}{(v-u)^4}][/latex]

[latex]e''(v)=aL(v-u)\frac{(6v^2-6vu)(v-u)-(4v^3-6v^2u)}{(v-u)^4}\\ e"(v)=aL(\frac{6v^3-6v^2u-6v^2u+6vu^2-4v^3+6v^2u}{(v-u)^3})[/latex]

[latex]e"(v)=aL(\frac{2v^3-6v^2u+6vu^2}{(v-u)^3}) \\ e"(v)=aLv\frac{2v^2-6vu+6u^2}{(v-u)^3}[/latex]

Note que e''(v) é sempre positiva, logo a concavidade da função será pra cima.

Com isso, concluímos que 3u/2 é mínimo, pois a segunda derivada é sempre maior que 0.

O gráfico, não existirá pra v menores que u, tenderá tocar em u vindo pela direita, terá valor mínimo em 3u/2 e depois cresce com concavidade pra cima.

é isso.