Esboço de gráfico através de derivada

Boa noite pessoal tudo bem ? Estou com dúvida numa questão de esboço de gráficos através de derivada, gostaria de saber se minha resolução está correta, caso contrário poderiam corrigir ? Abraços.

Esboce o gráfico da função f(x) x² + (8/x), descrevendo todos os passos da construção do esboço.

Eu fiz a resolução da seguinte forma e não sei se está correto:


1º passo: Definiremos o domínio: D = R – {0}
2º passo: Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem:

Fazendo temos:
Então, x = 0 e x = 4 são pontos críticos.
Vemos que > 0 quando x [(- , 0 ) (4, + )]. Assim, é crescente em (- , 0 ] [4, + ). Fazendo < 0, vemos que é decrescente em [0, 4].
Como f”(0) < 0, temos que 0 é ponto de máximo relativo e como f”(4) > 0, temos que 4 ponto mínimo relativo.
Ainda f (0) = 0 é o máximo relativo de f e f (4) = 18 é o mínimo relativo de f.
Fazendo obtemos que f é côncava para cima em (-2, + ) e fazendo: obtemos que f é côncava para baixo em (- , -2).
Determinando os limites:

Encontramos que x = -2 é assíntota vertical. Não existe assíntota horizontal.

Segue o gráfico abaixo:

Gráfico


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