VETOR DESLOCAMENTO!!!

por nathaliap Qua 24 Jun 2015, 18:35

Uma pessoa deslocou-se de um ponto A para um ponto B, 10 km ao sul de A. Em seguida, essa pessoa deslocou-se 6 km numa direção 30° com a linha leste-oeste.

Considerando os deslocamentos ∆ s1(vetor) = 10km e ∆ s2(vetor) = 6km, calcule o módulo de ∆ s(vetor), sendo este último a soma dos outros dois.

por **Carlos Adir** Qua 24 Jun 2015, 19:29

Está meio confuso, 30° em que direção? Sudeste, Nordeste, Noroeste, Sudoeste?

Enfim, interprete o desenho:
VETOR DESLOCAMENTO!!! UMEVkIJ

$\\ \vec{AC}=\left(6 \cdot cos \ 30^o, \ -10 + 6 \cdot {\color{Red} sen} \ 30^o \right ) \\ \vec{AD}=\left(6 \cdot cos \ 30^o, \ -10 - 6 \cdot {\color{Red} sen} \ 30^o \right ) \\ \vec{AE}=\left(-6 \cdot cos \ 30^o, \ -10 - 6 \cdot {\color{Red} sen} \ 30^o \right ) \\ \vec{AF}= \left(-6 \cdot cos \ 30^o, \ -10 + 6 \cdot {\color{Red} sen} \ 30^o \right )$
Creio que seja o vetor AC.

por nathaliap Qua 24 Jun 2015, 20:27

O desenho é igual ao do primeiro quadrante de sua imagem. AB = 10 km ; BC = 6 km formando um angulo de 30° com a linha leste-oeste (eixo x). Eu tenho que descobrir o vetor deslocamento que seria a reta AC orientada de A para C.

Eu descobri pela regra do paralelogramo o valor 14km entretanto no gabarito eu encontro a resposta V76 (raiz de 76).
Não sei onde estou errando, ou se é o gabarito que está incorreto.

por **Carlos Adir** Qua 24 Jun 2015, 20:36

O gabarito está correto. Eu errei uma coisinha ali em cima, na verdade são senos.
Agora o correto:
$\\ \vec{AC}=\left(6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ -10 + 6 \cdot \dfrac{1}{2} \right )= \left(3\sqrt{3}, \ -7 \right ) \\ |\vec{AC}|= \sqrt{\left(3\sqrt{3} \right )^2+\left(-7 \right )^2}=\sqrt{76} =2\sqrt{19}\approx 8,7177$

por nathaliap Qua 24 Jun 2015, 20:47

Desculpa, não consegui entender a resolução. Que fórmula é essa?
Eu resolvi através da fórmula: AC ² = AB ² + BC ² + 2 . AB . BC . cos 60°

por **Carlos Adir** Qua 24 Jun 2015, 20:51

São vetores, utilizei geometria analítica, enquanto tu usastes geometria plana.
Mas também da certo:
$\\ \mathrm{\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}{\color{Red} -} \mathrm{2 \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot cos \ 60^o} \\ \mathrm{\overline{AC}^2 = \left(10 \right )^2+\left(6 \right )^2} {\color{Red} -} \mathrm{2 \cdot (10) \cdot (6) \cdot \dfrac{1}{2}} \\ \mathrm{\overline{AC}^2 = 100 + 36 - 60 = 76 } \\ \boxed{\mathrm{\overline{AC}=\sqrt{76}}}$

E é um sinal de menos, você colocou mais.

por charlesmonteiro Qui 25 Jun 2015, 22:14

Também estava com dúvidas nessa questão minha resposta sempre dava 14 e o gabarito passava 2.raiz(19). A solução para tirar minhas dúvidas, foi montar o mesmo sistema proposto pela questão, no meu caso, no Autocad, e a diagonal do paralelogramo no software, deu exatamente um tamanho de 14. Então quem esta errado?

por **Carlos Adir** Qui 25 Jun 2015, 22:27

O valor é raiz de 76 ou 2 raiz de 19.
Não sei o que houve, mas talvez seja erro de construção ou de medição.

por **Elcioschin** Qui 25 Jun 2015, 22:33

charles

O seu erro é o seguinte:

1) O enunciado pede o vetor resultante da SOMA dos dois vetores. Neste caso a solução do Carlos e o gabarito estão corretos: √76

2) Você interpretou como sendo o vetor deslocamento AC e não é isto que o enunciado pede.

Para somar dois vetores, pela Regra do Paralelogramo, os pontos de aplicação dos dois vetores devem estar juntos, e isto não acontece na sua figura pois o ponto de aplicação do vetor 10 está em A e do 6 está em B

Para montar o paralelogramo certo faça o seguinte

1) Desloque o vetor 10 pra baixo até que o ponto A coincida com o B
2) Mantenha o vetor 6 no mesmo lugar original
3) Desenhe o paralelogramo e desenhe a resultante R (soma): este vetor está no 4º quadrante
4) Calcule R = √76

por Convidado Qui 25 Jun 2015, 23:01

Uma possível resolução usando vetores:

$\overrightarrow{s1}=\overrightarrow{s1i}+\overrightarrow{s1j}$

$\overrightarrow{s1}=0kmi-10kmj$

Para o deslocamento 2, vem:

$\overrightarrow{s2}=\overrightarrow{s2i}+\overrightarrow{s2j}$

$\overrightarrow{s2}=5,22kmi+3kmj$

Onde S2i e S2j podem ser obtidos através de:

$\overrightarrow{s2i} =\left | \overrightarrow{s2} \right |.cos30=6.0,87=5,22km$

$\overrightarrow{s2j} =\left | \overrightarrow{s2} \right |.sen30=6.0,5=3km$

Mas o vetor deslocamento é dado pela soma vetorial dos vetores da trajetória:

$\overrightarrow{D}=\overrightarrow{s1}+\overrightarrow{s2}$

$\overrightarrow{D}=-10kmi +3kmi+5,22kmj$

$\overrightarrow{D}=-7km +5,22kmj$

$\left |\overrightarrow{D} \right |=\sqrt{(5,22)^{2}+(-7)^{2})}=\sqrt{76,24}\cong 8,73km$