Número Complexo

por lukassmourafaria Qua 17 Jun 2015, 13:04

São dados os números complexos não nulos z=a + bi e w=i.z. Sendo Alfa e Beta os argumentos, respectivamente, de z e w, com (0 < alfa < 2pi) e (0 < Beta < 2pi), pode-se afirmar que Beta-Alfa é igual a:

por **Carlos Adir** Qua 17 Jun 2015, 13:24

$\\ \mathrm{z = a+bi} \\ \mathrm{w = i \cdot \ = ai - b = -b + ai} \\ \mathrm{\alpha = \arctan\left(\dfrac{b}{a} \right )} \\ \mathrm{\beta = arctan \left(\dfrac{a}{-b} \right )} \\ \mathrm{\Rightarrow \cot \beta = \tan \alpha}$
$\mathrm{\tan \left(\beta - \alpha \right ) = \dfrac{tan \ \alpha + \tan \ \beta}{1-tan \ \alpha \cdot \tan \ \beta}=\dfrac{\tan \alpha - \dfrac{1}{tan \ \alpha}}{1- tan \alpha \codt \left( \dfrac{1}{tan \ \alpha}\right )}=\dfrac{\left(\dfrac{\tan^2 \alpha - 1}{tan \ \alpha} \right )}{1-1}}$
Se a "divisão é por zero", indica que o valor da tan (beta - alpha) = infinito, portanto, beta - alfa = 90°.

Outra maneira que podemos ter:
Desenhar:
Número Complexo RmhD8Ze

Podemos meio que presumir que o ângulo é 90°.
Se usarmos vetores, podemos descobrir o ângulo entre eles:
$\mathrm{\cos \theta = \vec{z} \cdot \vec{w} = (a, \ b) \cdot (-b, \ a) = a (-b) + b \cdot a = 0}$
Se o cosseno é 0, então o ângulo entre eles é de 90°

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