EN - Trigonometria

A equação tg²2x + 2tg2xtg3x = 1 possui quantas soluções no intervalo [0,2π]?

a) 2
b) 6
c) 8
d) 12
e) 14

Gabarito: D

Alguém pode me ajudar, não encontro a opção certa... Não sei onde estou errando.

tg²2x + 2tg2xtg3x = 1

tg²2x + 2tg2xtg3x + tg²3x = 1 + tg²3x

(tg2x + tg3x)² = 1 + tg²3x

(tg2x + tg3x)² = sec²3x

tg2x + tg3x = sec3x

Multiplicando a equação toda por cos3x:

tg2xcos3x + sen3x = 1

(sen2xcos3x)/cos2x + sen3x = 1

sen2xcos3x + sen3xcos2x = cos2x

sen5x = cos2x

sen5x = sen(π/2 - 2x)

5x = π/2 - 2x + 2kπ

x = π/14 + 2kπ/7

k pertence aos inteiros, se k = 6, x é aproximadamente 320°. Se k = 7, o valor de x ultrapassa 360°. Fazendo k variar de 0 a 6, teremos 7 soluções no intervalo de 0 a 360°. Não tem essa resposta nas opções. O que eu estou fazendo de errado ? Esqueci de algo ?

Não olhei tudo, mas aparentemente esqueceu do +- quando tirou raiz:
(tg2x + tg3x)² = sec²3x

tg2x + tg3x = +- sec3x

termine de resolver assim e veja se dá.

É verdade, esqueci desse detalhe.
Refazendo, encontrei:

sen5x = - cos2x
sen5x = sen(3π/2 - 2x)
5x = 3π/2 - 2x + 2kπ
x = 3π/14 - 2kπ/7

Para k=0,1,...,6 temos 7 soluções.
Se somarmos as soluções teremos 14 soluções, o que daria letra E. Não bate com o gabarito :/

Não testei, mas me parece essa solução e a anterior tem arcos em comum sendo contados duas vezes. Verfique se há. Se houver 2 arcos, retire e dará os 12. Se não for isso, daí vamos melhor.

Infelizmente não tem arcos iguais, são próximos um do outro, mas nenhum igual...

tg²(2x) + 2tg(2x)tg(3x) + tg²(3x) = 1 + tg²(3x)

C.E. ---> cos(2x) ≠ 0, cos(3x) ≠ 0
2x ≠ π/2 + kπ            3x ≠ π/2 + kπ
x ≠ (π+2kπ)/4            x ≠ (π+2kπ)/6


tg(2x) + tg(3x) = csc(3x)
sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) = cos(2x)
sen(5x) = cos(2x) = sen(π/2 - 2x)
5x = π/2 - 2x + 2kπ
x = (π + 4kπ)/14 -----> 7

ou

5x = π/2 + 2x + 2kπ
x = (π + 4kπ)/6 ----> 2

Outro caso:
sen(5x) = -cos(2x) = sen(2x - π/2)
5x = 2x - π/2 + 2kπ
x = (-π + 4kπ)/6 ----> 0


ou

5x = π/2 - 2x + 2kπ
x = (π + 2kπ)/14 ---> 3 (distintas da que deu 7)

7 + 3 + 2 = 12.

Excelente, eu esqueci de analisar alguns outros casos que você descreveu. Muito bom ! Obrigado, cara !