Circunferência e reta

Obter a equação de uma reta paralela a (r) y=3x que determine na circunferência (λ) x²+y²=25 uma corda de comprimento L=6.

- circunferência x² + y² = 25 -> centro na origem e raio igual 5

- reta y = 3x

- trace no plano coordenado a reta (r) : y = 3x e a circunferência x² + y² = 25

- trace uma reta paralela reta y = 3x que determine na circunferência uma corda qualquer de extremidades A e B

- pela origem, trace uma reta perpendicular à reta y = 3x que passará pelo ponto médio da corda (M).

- obserwe que temos o triângulo OMA que é retângulo, assim:

metade da corda = 3
raio da circunferência  5

distância da reta desejada à origem = 4

- seja a circunferência de centro na origem e raio = 4

x² + y² = 16


- família de retas paralelas à reta y = 3x:

y = 3x + b

- reta paralela à reta y = 3x + b que é tangente a circunferência x² + y² = 16 :

x² + ( 3x + b )² = 16

x² + 9x² + 6bx  + b² = 16

......- 6b (+/- \/( 36b² - 40*( b² - 16 )
x = -------------------------- ------------
..........................20


para tangencia dewemos ter: 36b² - 40b² + 640 = 0

- 4b² = - 640

b² = 640/4 = 160 -> b = (+/-) 4*\/1o


assim, a reta procurada é:

y = 3x + 4*\/10

ou

y = 3x - 4*\/10



- interseção da reta y = 3x - 4*\/10 com circunferência x² + y² = 25:

x² + ( 3x - 4*\/10 )² = 25

10x² - 24*\/10 *x  + 135 = 0

x = [ 24\/10 (+/-) \/360 ]/20

para :

x = [ 24\/10 + 6\/10 ]/20 = (3\/10)/2 -> y = (\/10)/2 -> A( (3\/10)/2 , ( \/10)/2 )


para

x = [ 24\/10 - 6\/10 ]/20 x = ( 9\/10 )/10 -> y = ( - 13\/10 )/10  -> B(  ( 9\/10 )/10 ,  ( - 13\/10 )/10 )


d² (A,B) = [ ( 3\/10)/2 ) - ( 9\/10 )/10 ]² + [ ( \/10)/2 + ( 13\/10 )/10 ]² =

= ( 360/100 ) + ( 3240/100 ) = 3600/10 = 36

logo: d( A,B ) = 6

Grato pela resolução, bem detalhada e muito boa!