Valor mínimo em função trigonométrica

por Convidado Dom 31 maio 2015, 17:26

O menor valor que y pode assumir na igualdade: $y=cos(x) +cos(2x)$
Não estou conseguindo transformar essa função de uma soma para produto, essa é a minha dificuldade.

por Livia002 Dom 31 maio 2015, 17:41

Olá.
Para encontrar o valor mínimo de y, o melhor a se fazer é deixá-lo em função de um único parâmetro, cos(x).
Note que cos(2x)= cos(x)^2 - sen^2 (x) = 2cos^2(x) - 1
Assim, y= 2cos^2 (x) + cos(x) -1
Chegamos em uma função do segundo grau de incognita cos(x);
Para encontrar o seu valor minimo, basta encontrar -delta/4a
fazendo isso, encontrarás ymin= -9/8

por **Carlos Adir** Dom 31 maio 2015, 21:51

Ou você pode completar quadrado, mas é a mesma coisa que Livia002 fez:
$\\ \mathrm{y=\cos x + \cos 2x} \\ \mathrm{y=\cos x + \cos^2 x - sen^2 \ x} \\ \mathrm{y=2 \cos^2 x + \cos x -1} \\ \mathrm{y=2 \left(\cos^2 x + 2 \cdot \dfrac{1}{4} \cos x + \dfrac{1}{16} \right )-1-2 \cdot \dfrac{1}{16}} \\ \mathrm{y=2 \left(\cos x + \dfrac{1}{4} \right )^2- \dfrac{9}{8}}$
Como o primeiro termo é sempre positivo, então o valor mínimo será quando o primeiro valor for zero, e então o valor mínimo é -9/8
Da mesma maneira o valor máximo, o valor máximo ocorre quando o primeiro membro for o máximo, e então cos x = 1.