Saraeva - MHS

por Thiago.R Sex 29 maio 2015, 10:03

Um aro de massa m e raio r pode girar, sem escorregamento, pela superfície interna de um cilindro de raio R (fig. 227). Determinar o período de oscilações do aro, considerando o ângulo φ pequeno.

FIG.227: https://2img.net/r/ihimizer/v2/94x94q90/c/r/537/RGy5LH.jpg

Resposta: T = 2π√[2(R-r)/g]

por **Carl Sagan** Dom 31 maio 2015, 22:29

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Considere um pêndulo simples de comprimento (R-r), utilizando conservação de energia mecânica:

$E_{mi}=E_{mf}$

$E_{pg}=E_{c}$

Encontrando a velocidade do pêndulo:

$mg(R-r)cos \varphi=\frac{mv^{2}}{2}\\ \mathrr{\; \; \; \; \; }v_{p}=\sqrt{2g(R-r)cos \varphi}$

Agora, aplicando conservação de energia para o problema original:

$E_{mi}=E_{mf}\\ \mathrr{\; \; \; \; \;}E_{pg}=E_{ct}+E_{cr}$

Então:

$mg(R-r)cos \varphi=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{I\omega^{2}}{2}$

O momento de inércia do aro é dado por:

$I=mr^{2}$

E a velocidade angular pode ser escrita como:

$\omega=\frac{v}{r}$

Substituindo:

$mg(R-r)cos \varphi=mv_{a}^{2}\\\\ \mathrr{\; \; \; \; \;}v_{a}=\sqrt{g(R-r)cos \varphi}$

Relação entre as velocidades do pêndulo simples e do aro:

$v_{p}=v_{a}\sqrt{2}$

Logo, a relação entre os períodos pode ser escrita assim:

$T_{p}=\frac{T_{a}}{\sqrt{2}} \Rightarrow T_{a}=T_{p}\sqrt{2}$

O período do pêndulo simples já é conhecido:

$T_{p}=2 \pi \sqrt{\frac{(R-r)}{g}}$

O período do aro:

$\boxed{\boxed{T_{a}=2 \pi \sqrt{\frac{2(R-r)}{g}}}}$

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por Thiago.R Ter 02 Jun 2015, 11:46

Valeu, mestre, não tinha pensado em relacionar momento de inércia.. Obrigado!

por kill* Ter 02 Jun 2015, 19:34

Carl, não entendi direito uma parte . Onde você usou o momento da inercia?
Apesar, é a primeira vez que ouço falar do "momento da inercia" Shocked

por **Carl Sagan** Ter 02 Jun 2015, 23:43

Kill, eu usei para achar a energia cinética rotacional do aro. O momento de inércia é análogo à massa para movimentos de rotação. Ele é específico para cada geometria dos corpos envolvidos no problema.