OUTRA QUESTÃO DE ANÁLISE COMBINATORIA
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OUTRA QUESTÃO DE ANÁLISE COMBINATORIA
por jose roberto Qui 23 Set 2010, 17:44
Numa escola de jardim da infância, a diretora está querendo montar
o presente do dia das mães. Ela quer fazer um colar utilizando
macarrão colorido daquele redondinho. Nessa escola, temos 5000
alunos. A diretora quer que todo colar tenha a mesma quantidade
de macarrão. Pergunta-se: sabendo que o colar é composto de
macarrão de cores diferentes, quantas cores precisamos ter (e,
conseqüentemente, quantos macarrões formarão o colar) para que
nenhum colar fi que igual?
o presente do dia das mães. Ela quer fazer um colar utilizando
macarrão colorido daquele redondinho. Nessa escola, temos 5000
alunos. A diretora quer que todo colar tenha a mesma quantidade
de macarrão. Pergunta-se: sabendo que o colar é composto de
macarrão de cores diferentes, quantas cores precisamos ter (e,
conseqüentemente, quantos macarrões formarão o colar) para que
nenhum colar fi que igual?
jose roberto- Jedi
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Uma solução.
por Carlos Eustáquio pinto Seg 02 Jan 2012, 18:53
Solução:
Temos aqui um caso de Permutação Circular (Permutação Cíclica) PC n = (n – 1)! ≥ 5.000.
Vamos partir de 5! = 120.
6! = 6∙120 = 720.
7! = 7∙720 = 5.040.
Temos n – 1 ≥ 7, então n ≥ 8.
O número mínimo de cores distintas deve ser 8, digo isso pois não foi solicitado a quantidade mínima de macarrão de cores diferentes para compor os colares.
Há um detalhe importante na confecção de colares que difere da formação de roda com pessoas.
Seja o colar ABCDEFGH, se girarmos ele 180° em torno de um eixo, como se estivéssemos girando um círculo em torno do seu diâmetro, obteríamos o colar HGFEDCBA..
Então, na verdade, precisamos de dois lotes de 2.500 colares distintos em vez de 5.000 colares diferentes.
Quanto às cores, observe que 2∙6! = 2∙720 = 1.440 < 5.000, este fato não vai alterar a quantidade mínima de macarrão de cores diferentes necessária.
Conclui-se que precisamos de macarrão de 8 cores diferentes, a quantidade de macarrão para confeccionar cada colar também deve ser no mínimo 8, isso vai depender dos tamanhos do colar e macarrão.
Acredito que a pergunta do problema deve ser reformulada.
Temos aqui um caso de Permutação Circular (Permutação Cíclica) PC n = (n – 1)! ≥ 5.000.
Vamos partir de 5! = 120.
6! = 6∙120 = 720.
7! = 7∙720 = 5.040.
Temos n – 1 ≥ 7, então n ≥ 8.
O número mínimo de cores distintas deve ser 8, digo isso pois não foi solicitado a quantidade mínima de macarrão de cores diferentes para compor os colares.
Há um detalhe importante na confecção de colares que difere da formação de roda com pessoas.
Seja o colar ABCDEFGH, se girarmos ele 180° em torno de um eixo, como se estivéssemos girando um círculo em torno do seu diâmetro, obteríamos o colar HGFEDCBA..
Então, na verdade, precisamos de dois lotes de 2.500 colares distintos em vez de 5.000 colares diferentes.
Quanto às cores, observe que 2∙6! = 2∙720 = 1.440 < 5.000, este fato não vai alterar a quantidade mínima de macarrão de cores diferentes necessária.
Conclui-se que precisamos de macarrão de 8 cores diferentes, a quantidade de macarrão para confeccionar cada colar também deve ser no mínimo 8, isso vai depender dos tamanhos do colar e macarrão.
Acredito que a pergunta do problema deve ser reformulada.
Carlos Eustáquio pinto- Iniciante
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Localização : Sarzedo, Minas Gerais, Brasil
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