Integrais Impróprias

por Kingflare Qui 07 maio 2015, 23:08

Olá pessoal! Boa noite, tudo bem? Então , estou estudando integrais impróprias e cheguei nesse exercício: $Integrais Impróprias Gif$ , resolvi normalmente por integrais parciais e achei o resultado:

$Integrais Impróprias Gif$ , até então tudo bem. Então chegou o momento de eu substituir, quando substituí direto por -infinito, me deparei com os seguintes problemas:

I) Porque ln(x) quando x tende -infinito é infinito?

II) Coloquei no wolfram e vi que o resultado de x quando tende a -infinito é infinito, então, tive outro problema, uma indeterminação do tipo infinito-infinito, sendo assim reescrevi $Integrais Impróprias Gif$ na forma de:

$Integrais Impróprias Gif$ , substituí x-1 por u, e escrevi dessa forma:

$Integrais Impróprias Gif$ , que também é o mesmo que:

$Integrais Impróprias Gif$

E finalmente:

$Integrais Impróprias Gif$

O resultado bate com o do gabarito, mas minhas dúvidas são as seguintes:

Porque ln(x), quando x tende e menos infinito é infinito?

E o artifício matemático que usei para eliminar a indeterminação é válido?

Desde já, agradeço!

por **mauk03** Sex 08 maio 2015, 17:42

Vc errou no cálculo da integral.
$\int \frac{dx}{3x^{2}-3x+1}=\int \frac{dx}{3\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{3}{4}+1}=\int \frac{dx}{3\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}$
$u=2\sqrt{3}\left ( x-\frac{1}{2} \right )\Rightarrow du=2\sqrt{3}dx$
$\Rightarrow \int \frac{dx}{3\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}}=\int \frac{\frac{du}{2\sqrt{3}}}{\frac{u^{2}}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{du}{u^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan (u)$ $=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left (2\sqrt{3}\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right )=\frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left (2\sqrt{3}x-\sqrt{3} \right )$
$\therefore \int_{-\infty }^{0} \frac{dx}{3x^{2}-3x+1}=\left [ \frac{2\sqrt{3}}{3}\arctan \left (2\sqrt{3}x-\sqrt{3} \right ) \right ]_{-\infty }^{0}$ $=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left (\arctan \left (-\sqrt{3} \right )-\lim_{x\rightarrow -\infty }\arctan \left (2\sqrt{3}x-\sqrt{3} \right ) \right )=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left (-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2} \right )$ $=\frac{\sqrt{3}\pi }{9}$

Bate com o resultado do wolfram alpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+dx%2F%283x%C2%B2-3x%2B1%29+from+x%3D-infinit+to+0

por **mauk03** Sex 08 maio 2015, 17:44

Essa integral não pode ser resolvida por frações parciais pois o polinômio 3x²-3x+1 não possui raízes reais.

por **mauk03** Sex 08 maio 2015, 17:46

E o limite de ln(x) quando x tende e menos infinito não está existe já que a função ln(x) só é definida para x>0. Porém se a função fosse ln|x| (já que ∫dx/x = ln|x| e não ln(x)), ai o limite, para x tendendo a menos infinito, seria igual a infinito mesmo.

por Kingflare Sex 08 maio 2015, 17:49

Na verdade, eu digitei a integral completamente errada, o certo é: x^ 2-3x+2

por **mauk03** Sex 08 maio 2015, 17:54

Hum, neste caso sua integral está correta, com exceção de que deveria ser ln|(x-2)/(x-1)| e não ln((x-2)/(x-1)), cujo limite para x tendendo a menos infinito já expliquei na mensagem anterior (editada).