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Questão acerca de integrais improprias!

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Questão acerca de integrais improprias! Empty Questão acerca de integrais improprias!

Mensagem por Xexene3251 Ter 15 Out 2019, 16:00

1.       1. E possível indicar um número para representar a medida da área da região a direita da reta x=1, abaixo do gráfico de y = 1/x e acima do eixo x ?                                                      Resp.: não

2.       2. E possível atribuir um número finito medida do volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo x, da região do exercício anterior ?                                                                Resp.: Sim, π

3.       3. Verifique  se  e possível atribuir um número finito para representar a área pela curva: y=1/e^x+e^-x e pelo eixo x. Caso seja possível determine-o.                                                   Resp.: Sim, π/2

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Questão acerca de integrais improprias! Empty Re: Questão acerca de integrais improprias!

Mensagem por Matemathiago Qua 16 Out 2019, 10:46

a) lnx tende a infinito quando x tende a infinito, logo, a integral de área diverge.

b) o sólido de revolução pode ser calculado com a integral que vai de 1 a infinito de pi.f(x)² dx = pi.1/x²  dx
isso dá pi . (-1/x) 
quando x tende a infinito, isso dá zero e quando x tende a 1, dá -pi

Então o resultado é 0-(-pi) = pi

c) Acredito q vc queria ter escrito: 1/ (e^x + e^-x)
Daí, temos:
e^x/((e^2x)+1)
 
Seja e^x = y
dy/dx = e^x 
dy = e^xdx

Entao a integral fica dy/(y²+1)
que integrando fica arctg (y) = arctg(e^x)

Mas, quando x tende a infinito, e^x tende a infinito, então o arctg tende a pi/2
Quando x tende a -infinito, e^x tende a 0, então arctg tende a zero.

Logo, a área existe e é pi/2 - 0 = pi/2
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