Demonstração

por Shini10 Qua 06 maio 2015, 09:19

Sejam a e b dois números reais positivos e distintos.
ma = média aritmética de a e b.
mg = média geométrica positiva de a e b.
mn = média harmônica de a e b.
Prove que : mn < mg < ma.

por **Carlos Adir** Qua 06 maio 2015, 10:04

Tem vários locais que demonstram essas desigualdades.
Dê uma olhada que o Ashitaka fez:
A desigualdade das medias
Ele fez para diversos termos, mas para 2 fica mais fácil.
$\\ \left(a-b \right )^2 \ge 0 \Rightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Rightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2} \ge ab$
Se temos:
$\begin{cases}a = \sqrt{m} \\ b=\sqrt{n}\end{cases} \dfrac{a^2+b^2}{2} \ge ab \Rightarrow \dfrac{m+n}{2} \ge \sqrt{mn}$
Esta é uma maneira bem simples.

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