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Demonstração [P.A.G.]
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Demonstração [P.A.G.]
por lulinha90 Qua 20 Fev 2013, 14:28
Demonstre que para todo n positivo vale:
1 + 2(1/2) + 3(1/2)^2 + ... + n(1/2)^n-1 = 4 - (n+2/2^n-1)
1 + 2(1/2) + 3(1/2)^2 + ... + n(1/2)^n-1 = 4 - (n+2/2^n-1)
lulinha90- Iniciante
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Re: Demonstração [P.A.G.]
por Luck Qua 20 Fev 2013, 16:28
S = 1(1/2)^0 + 2(1/2) + 3(1/2)² + ... + n(1/2)^n-1
multiplicando pela razão da PG:
S(1/2) = 1.(1/2) + 2(1/2)² + 3(1/2)³ + ... + n(1/2)^n
S - S/2 = 1 + (1/2)(2-1) + (1/2)² ( 3-2) + ... + (1/2)^(n-1) [ n - (n-1) ] - n(1/2)^n
S/2 = 1 + (1/2) + (1/2)² + ... + (1/2)^(n-1) - n(1/2)^n
S/2 = ( 1[ 1 - (1/2)^n ] / (1 - 1/2) ) - n(1/2)^n
S/2 = 2 [ 1 - (1/2)^n ] - n(1/2)^n
S/2 = 2 - [(1/2)^n ]( n+2)
S = 4 - [ (n+2)/2^(n-1) ] c.q.d
multiplicando pela razão da PG:
S(1/2) = 1.(1/2) + 2(1/2)² + 3(1/2)³ + ... + n(1/2)^n
S - S/2 = 1 + (1/2)(2-1) + (1/2)² ( 3-2) + ... + (1/2)^(n-1) [ n - (n-1) ] - n(1/2)^n
S/2 = 1 + (1/2) + (1/2)² + ... + (1/2)^(n-1) - n(1/2)^n
S/2 = ( 1[ 1 - (1/2)^n ] / (1 - 1/2) ) - n(1/2)^n
S/2 = 2 [ 1 - (1/2)^n ] - n(1/2)^n
S/2 = 2 - [(1/2)^n ]( n+2)
S = 4 - [ (n+2)/2^(n-1) ] c.q.d
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