Triângulo inscrito no círculo de centro C

por magcamile Sex 24 Abr 2015, 17:04

Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e yem metros), o triângulo PQR tem ângulo reto no vértice R=(3,5) , base PQ paralela ao eixo X e está inscrito no círculo de centro C=(1,1). A área desse triângulo,em metros quadrados, é igual a?

por **Jose Carlos** Sex 24 Abr 2015, 22:07

- marque os pontos R( 3, 5 ) e C( 1, 1 ) no plano coordenado.

- sabemos que o triângulo está inscrito na circunferência, o lado PQ é paralelo ao eixo das abscissas e que o triângulo é retângulo em R

assim:

PQ é o diâmetro da circunferência paralelo ao eixo 'x'.

- raio da circunferência:

d²( C,R ) = ( 3 - 1 )² + ( 5 - 1 )² = 4 + 16 = 20 -> d( C,R) = \/20

- circunferência de centro C( 1, 1 ) e raio = \/20

( x - 1 )² + ( y - 1 ) = 20

- fazendo y = 1 :

( x - 1 )² = 20

( x - 1 ) = ± \/20

x = 1 + \/20

x = 1 - \/20

P( 1 - \/20 , 1 )

Q( 1 + \/20 , 1 )

- com os três vértices definidos calcule a área.

por Demoiselle D'ys Sáb 18 Mar 2017, 15:13

Mas o centro da circunferência(circuncentro) divide a hipotenusa(base de valor Cool

em duas partes iguais, certo? E o centro será equidistante dos vértices do triângulo, então, o raio teria que ser igual a 4, valor igual ao valor da altura, não?Sendo assim, a área teria um valor igual a 16. Nâo entendi porque a propriedade do circuncentro em um triangulo retângulo foi desprezada....

por **Elcioschin** Sáb 18 Mar 2017, 18:51

Não, o raio não é igual a 4:

Desenhe um sistema xOy e os pontos C(1, 1) e R(3, 5)

R é o ângulo reto ---> PQ é a hipotenusa, a qual tem seu ponto médio em C.

CP = CQ = CR = r = raio do círculo

Trace a reta suporte da hipotenusa: y = 1

CR² = (3 - 1)² + (5 - 1)² ---> CR² = 20 ---> CR = 2.√5 = r

Viu como o raio não é 4 ?

Usando caminho diferente, sem necessidade de calcular as coordenadas de P e Q:

PQ = 2.r --> PQ = 2.2.√5 --> PQ = 4.√5

Altura do triângulo, relativa a PQ: h = yR - yC ---> h = 5 - 1 ---> h = 4

Área do triângulo: S = PQ.h/2 ---> S = (4.√5).4/2 --> S = 8.√5