Questão de fatoração

por rrrjsj36 Seg 16 Mar 2015, 21:10

Fatorando a expressão a seguir
$\frac{\left(a^4-2 a b^3+2 a^3 b-b^4\right) \left(a^8-4 a^5 b^3+4 a^2 b^6-2 a^7 b+5 a^4 b^4-2 a b^7+4 a^6 b^2-4 a^3 b^5+b^8\right)}{(a+b)^3 \left(a^2-a b+b^2\right)^3}$
o resultado obtido é:
a) a³+b³
b) a³-b³
c) a³ - 2b³
d) a³ + 2b³
ps: para ver a imagem completa abra-a em uma nova aba.
Gabarito: B

por **Carlos Adir** Seg 16 Mar 2015, 22:22

$\\ (I) \ \ \ \ \ \ a^4-2ab^3+2a^3b-b^4= \\ =(a^4-b^4)+2ab(a^2-b^2)= \\ = \left(a^2-b^2 \right )\left(a^2+b^2 \right )+2ab\left(a^2-b^2 \right )= \\ = \left(a^2-b^2 \right )\left(a+b \right )^2=\left(a-b \right )\left(a+b \right )^3$

$(II) \ \ \ \ \ a^2-ab+b^2 = \dfrac{a^3+b^3}{a+b}$

Temos então que por enquanto a expressão original fica:
$\dfrac{\left(a-b \right )\left(a+b \right )^3\left(a^8 -2ab^7+4a^6b^2-4a^5b^3+5a^4b^4-4a^3b^5 + 4a^2b^6-2ab^7+b^8 \right )}{\left(a+b \right )^3\left(\dfrac{a^3+b^3}{a+b} \right )^3}$

$\dfrac{\left(a+b \right )^3\left(a-b \right )\left(a^8 -2ab^7+4a^6b^2-4a^5b^3+5a^4b^4-4a^3b^5 + 4a^2b^6-2ab^7+b^8 \right )}{\left(a^3+b^3 \right )^3}$

Podemos ter então:
$(a^8+b^8)-2ab(a^6+b^6)+4a^2b^2(a^4-a^3b-ab^3+b^4)+5a^4b^4$

Achei que a questão era mais simples, estou sem tempo agora. Depois retornarei a fazer. Ou se alguem o fizer antes.

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