Questão de quantidade divisores positivos

por amms Qui 12 Fev 2015, 20:18

Boa noite pessoal , poderiam por obséquio dar uma força nesta questão aqui , estou ficando louco.
Sei que aquela expressão pra determinar o número de divisores mas nao sei aplica-lá nesta questão!
O enunciado dela e o seguinte :

Determinar o inteiro n=2^x.5^y.7^z, sabendo que os produtos 5n, 7n e 8n têm respectivamente, 8, 12 e 18 divisores positivos a mais que n.

por **Carlos Adir** Qui 12 Fev 2015, 22:17

$\\ n=2^x\cdot 5^y \cdot 7^z$
Para entender melhor, vamos verificar com alguns valores baixos. Vamos chamar z=0 e y=0 por enquanto, e vejamos o que ocorre:
$\\ n=2^x\cdot 5^0 \cdot 7^0=2^x \\ Se \ x=1 \Rightarrow n \Rightarrow \ 1 \ e \ n \ como \ divisores \\ Se \ x=2 \Rightarrow n \Rightarrow \ 3 \ divisores \\ Se \ x=3 \Rightarrow n \Rightarrow \ 4 \ dividores$
Então, se variarmos o x linearmente, o número de dividores será o mesmo número de x+1
Agora, o mesmo ocorre com y, então vamos chamar x de 2, e verificar o número de divisores quando y varia:
$\\ n=2^2\cdot 5^y \cdot 7^0=2^2 \cdot 5^y \\ Se \ y=0 \Rightarrow n \Rightarrow \ 3 \ divisores \\ Se \ y=1 \Rightarrow n \Rightarrow \ 6 \ divisores \\ Se \ y=2 \Rightarrow n \Rightarrow \ 12 \ dividores$

Então, se formos seguir o raciocinio, percebemos que o número de divisores para n, onde x, y e z são os coeficientes, será descrito como:
$\\ n=2^x\cdot 5^y \cdot 7^z \\ \Rightarrow \ n \ possui \ (x+1)(y+1)(z+1) \ divisores$

Então:
$\begin{cases}5n=2^x\cdot 5^{y+1}\cdot 7^z \\ 7n=2^x\cdot 5^y \cdot 7^{z+1} \\ 8n=2^{x+3}\cdot 5^y \cdot 7^z \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}5n \Rightarrow (x+1)(y+2)(z+1) \ divisores \\ 7n \Rightarrow (x+1)(y+1)(z+2) \ divisores \\ 8n \Rightarrow (x+4)(y+1)(z+1) \ divisores \end{cases}$

5n tem 8 divisores a mais que n, então temos:
$\\ (x+1)(y+2)(z+1)-(x+1)(y+1)(z+1)=8 \\ \left[\left(x+1 \right )\left(z+1 \right ) \right ]\left[\left(y+2 \right )-\left(y+1 \right ) \right ]=8 \\ \left(x+1 \right )\left(z+1 \right )=8$

Do mesmo modo aplicando para os outros, temos:
$\begin{cases}(x+1)(z+1)=8 \\(x+1)(y+1)=12 \\ 3(z+1)(y+1)=18 \end{cases}$
Assim, podemos concluir, resolvendo o sistema que
$\begin{cases}x=3 \\ y=2 \\ z=1 \end{cases}$

Está ai a resposta.