Triângulos

(UERJ/93) No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e E dividem o lado AB em três lados iguais e os pontos F, G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais. A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale: 

a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/7 
d) 1/12 
e) 1/15 
[/img]

*Gabarito: D)

Razão S(DEF)/S(ABC)=(S/12)/S=1/12 alt (d)

Minha solução é quase igual a do Raimundo, mas meu pontapé inicial foi um pouco diferente,

Como BC é divido em 4 lados iguais, temos que AF, AG e AH são medianas e o mesmo se aplica em ABF, onde FE e FD são medianas.

Olhando para os pés das medianas, temos que o vértice B é equidistante a F, então o ponto equidistante a E denominemos de E', que é descoberto ao traçar uma paralela a BC, faça isso, também, no ponto D. E isso se aplicará a todos os triângulos, prolongando tal paralela até AC, assim sendo, os pontos equidistantes formados pelas retas paralelas formarão ângulos idênticos aos triângulos BEF, FED e FAD(BEF ≡ GE'F) . Logo como são 12 triângulos a razão é 1/12

Alguém consegue fazer uma resolução mais didática e de fácil visualização? Não entendi as resoluções acima

Em primeiro lugar é preciso saber que triângulos de mesma base e mesma altura relativa a essa base possuem áreas iguais.

I) No triângulo ABC, a sua altura em relação ao lado BC é também altura dos triângulos AFB, AGF, AHG e ACH.

II) AFB, AGF, AHG e ACH possuem bases iguais, pois BF = FG = GH = HC.

III) De (I) e (II) os triângulos AFB, AGF, AHG e ACH possuem  bases e alturas relativas a essas bases iguais e por isso possuem a mesma área que chamaremos de área S1.

IV) Os triângulos EFB, DEF, AFD também possuem a mesma área, visto que AD = DE = EB e suas alturas relativas as bases também são iguais (é a altura relativa ao lado AB do triângulo AFB) e chamaremos suas áreas de S2.

V) O triângulo AFB tem área que chamamos de S1. Note que essa área é equivalente a soma das áreas dos triângulos EFB, DEF e AFD que possuem área S2:
S1 = 3.S2
S2 = S1/3
Conclusão: a área de DEF é igual a S1/3

VI) A área de ABC é equivalente a soma das áreas dos triângulos AFB, AGF, AHG e ACH que possuem área S1:
SABC = 4.S1

VII) Razão entre a área de DEF e ABC:
r = (S1/3)/4.S1
r = 1/12

Nossa explicação perfeita, obrigada pela paciência em me ajudar.