Desigualdade

por **Carlos Adir** Qui 22 Jan 2015, 19:12

A questão inicial é essa:

Mostre que, se $a+b+c=1$ onde $a > 0, \ b>0, \ c>0,$ então temos que, $(1-a)(1-b)(a-c) \ge 8abc$

Eu não consegui demonstrar, desenvolvi até:
$\\ ab+bc+ac \ge abc \\ . \\ ou \\ .\\ a \left(\dfrac{b+c}{2} \right )+b\left(\dfrac{a+c}{2} \right )+c \left(\dfrac{a+c}{2} \right ) \ge abc$
O primeiro é equivalente ao segundo.
Pelo que me lembro, tem uma desigualdade que "mata" a questão, mas não lembro.

Por consequência, quis tentar mostrar que (1-a)(1-b) > 4ab, e após isto tentar provar por indução(se provasse, prova para 3, questão respondida) pra qualquer número de termos, mas não consegui provar a indução.

Questão:

Se puderem provar(ou desmentir tal suposição), agradeço.

por Hoshyminiag Sex 23 Jan 2015, 16:58

Espero que seja isso. Se não for, avisa-me que eu apago.
a + b + c = 1 ----> 1 - a = b + c
----> 1 - b = a + c
----> 1 - c = a + b
M.A. ≥ M.G.

b+c ≥ 2.√bc
a + b ≥ 2.√ab
a + c ≥ 2.√ac

Multiplicando tudo: (a+b) . (b+c) . (a+c) ≥ 8.abc