Cálculo/trigonometria

por **LPavaNNN** Sáb 03 Jan 2015, 18:59

$\int_0^\pi sen\theta .d\theta$

a dificuldade está no somatório, então se possível detalhar essa parte....

por Man Utd Sáb 03 Jan 2015, 22:24

Olá

Pela soma de Riemann :

$\\\\\\ \Delta x=\frac{\pi-0}{n}=\frac{\pi}{n} \\\\\\ x_{i}=\frac{\pi}{n}i \\\\\\ \lim_{n \to +\infty} \; \sum_{i=1}^{n} \; f(x_{i}) \; \Delta x \\\\\\ \lim_{n \to +\infty} \; \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^{n} \; \sin\left( \frac{\pi}{n}i \right )$

Lembre-se que :

$\\\\\\ \sum_{i=1}^{n} \; \sin\left( ix \right) =\frac{\sin \left( \frac{\left( n+\frac{1}{2} \right )x}{2} \right) \sin \left(\frac{nx}{2} \right)}{\sin\left(\frac{x}{2} \right )} \\\\\\ \textbf{para x}=\frac{\pi}{n} \\\\\\ \sum_{i=1}^{n} \; \sin\left( \frac{\pi}{n}i \right) =\frac{\sin \left( \frac{\left( n+\frac{1}{2} \right )\frac{\pi}{n}}{2} \right) \sin \left(\frac{n \frac{\pi}{n}}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\frac{\pi}{n}}{2} \right )}$

$\\\\\\ \sum_{i=1}^{n} \; \sin\left( \frac{\pi}{n}i \right) =\frac{\sin \left( \frac{\left( n+\frac{1}{2} \right )\frac{\pi}{n}}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n} \right )} \\\\\\ \sum_{i=1}^{n} \; \sin\left( \frac{\pi}{n}i \right) =\frac{\sin \left( \frac{\left( n+\frac{1}{2} \right )\frac{\pi}{n}}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n} \right )}$

Logo :

$\\\\\\ \lim_{n \to +\infty} \; \frac{\pi}{n}\frac{\sin \left( \frac{\left( n+\frac{1}{2} \right )\frac{\pi}{n}}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n} \right )}=2$

Nesta resolução utilizei o fato que temos que resolver este "limite de sequência", mas perceba que podemos fazer : $\\\\\\ \lim_{n \to +\infty} f(n)=\lim_{x \to +\infty} \; f(x)$ desde que o limite exista (finito ou não) , com isso podemos usar os inúmeros teoremas que são válidos para "limite de funções reais".

por **Euclides** Sáb 03 Jan 2015, 22:39

Man Utd,

o seu domínio da matemática é espetacular! Sua condução didática é reveladora do seu gosto pela matemática e da real intenção de tornar tudo claro e compreensível.

É ótimo ter você conosco!

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