Expressão: potência e fatorial

por wesley mairciel dias Seg 29 Dez 2014, 22:06

Na expressão 10^n*k=50!, sabe-se que k não é divisível por 10. Dessa forma, n é igual a:

a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

??????

por PedroCunha Seg 29 Dez 2014, 23:41

Olá.

Basta calcularmos quantos zeros existem em 50!:

50!=50*...46*45*...*40*...36*35*...*30*...26*25*...*20*...16*15*...*10*...6*5*...*1
50!= (50*40*30*20*10)*(46*45*36*35*26*25*16*15*6*5)*(49*48*47*...*1)
50!= (50*40*30*20*10)*[(2*45)*(2*35)*(2*25)*(2*15)*(2*5)]*[49*48*47*...*23*...*18...*8...*3*2*1]

Em vermelho, temos os números que resultaram na adição de uma potência de 10.

Logo, n = 10.

Att.,
Pedro

por Carlos Adriano de Sousa Dom 07 Fev 2016, 23:01

Houve um pequeno equívoco na resolução da questão, o gabarito correto é a letra C, “n” é igual a 12 e não 10, irei mostrar o porquê.

Quando decompomos o número 50! o mesmo aparece na seguinte forma: 50*49*...*2*1.

Lá no enunciado diz que a letra K não é um número múltiplo de 10, logo o valor de n será o número de vezes que uma potência de 10 aparece nesta decomposição, ou seja, ela pode ser representada por 2 * 5, pois todo número é decomposto por números primos. Neste caso teremos que pensar em todas vezes que aparece o número 5 vezes 2, pois as potências de 2 “sobram” se formos pensar por exemplo no número 32 que é 2^5, então para facilitar nosso entendimento tomaremos todos 5 nesta decomposição, pois estas potências são poucas em comparação as potências de 2, isso por que o número 50 é múltiplo de 10, logo:

5*10 = 50 ou 5*5*2, que é simplesmente 5²*2, pensando agora no 5*9 = 45, este 5 se juntará com outro número 2 formando novamente o número 10 e se formos pensar em todos estes números dos múltiplos de 5, entre o número 50 e o número 5, assim teremos:

5*10, 5*9, 5*8, 5*7, 5*6, 5*5, 5*4, 5*3, 5*2, 5*1; observem que estão aparecendo 11 vezes o número 5 mais outro 5 do 10 da primeira multiplicação fazendo assim n igual a 12 e não 10, portanto a alternativa correta é a letra C, inclusive ela foi o gabarito oficial da banca em 2010, até mais obrigado.

At.

Carlos Adriano de Sousa.

por **Elcioschin** Seg 08 Fev 2016, 09:57

Resumindo

50 = 5.5.2
45 = 5.9
40 = 5.8
35 = 5.7
30 = 5.6
25 = 5. 5
20 = 5.4
15 = 5.3
10 = 5.2
..5 = 5.1

São 12 algarismos 5, logo são 12 algarismos 0 ---> n = 12