Tartaglia (Eq.3° grau)

Vou colocar aqui a demonstração da simpática fórmula de Tartaglia para obter raízes de uma equação de 3° grau desprovida de termos de 2° grau, do tipo:


Vamos conjecturar que as raízes reais sejam da forma:


Elevando ao cubo temos:


Perceba que a parcela entre parênteses é igual ao próprio x, passando todos os termos para um só lado temos que:


Logo:



Por consequência:



Podemos dizer que a e b são raízes da equação:



Sendo assim temos as raízes reais de equações do tipo:


Podem ser escritas como:


Prefiro Girard, .

@jango feet escreveu:Vou colocar aqui a demonstração da simpática fórmula de Tartaglia para obter raízes de uma equação de 3° grau desprovida de termos de 2° grau, do tipo:


Vamos conjecturar que as raízes reais sejam da forma:


Elevando ao cubo temos:


Perceba que a parcela entre parênteses é igual ao próprio x, passando todos os termos para um só lado temos que:


Logo:



Por consequência:



Podemos dizer que a e b são raízes da equação:



Sendo assim temos as raízes reais de equações do tipo:


Podem ser escritas como:


Prefiro Girard, .

Este método é melhor:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Fazendo:

p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}

e

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}


Tem-se:


x_1 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right]-\frac{b}{3a}

x_2 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{2 \pi}{3} \right]-\frac{b}{3a}

x_3 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{4 \pi}{3} \right]-\frac{b}{3a}

Exemplo:

Seja a equação:

x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0

Neste caso:

a = 1
b = -6
c = 11
d = -6

Substituindo valorese realizando operações, vem:

x₁ = 2
x₂ = 3
x₃ = 1

Resolvendo pelo Wolfram-Alpha os valores batem, o que valida o método.

O método está em https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%C2%BA-grau-ou-cubica/

Pode-se deduzir ainda uma outra expressão para resultados gerais para um polinômio de 3º grau qualquer. Utilizando o útil resultado: " Dada a equação transformatriz , responsável por eliminar o termo de k-ésimo grau de , então ''Alfa'' é raiz da k-ésima derivada de p(x) com relação a x ". Utilizando esse fato, podemos fazer com que a transformada aditiva seja desprovida de termo do segundo grau, caindo assim num Polinômio que respeita as condições de Targaglia-Cardano, cujas raízes serão em y, bastando adicionar à expressão de Tartaglia o termos ''Alfa'' encontrado, tendo assim, uma expressão assim como a de Báskara que fornece as raízes de p(x)=a.x³+b.x³+c.x+d. Assim como a expressão utilizada pelo Luiz, ela não é útil em nenhuma prova, tanto que não é ensinada em nenhum livro ou escola, justamente por tomar muito tempo e espaço, mesmo fornecendo as raízes de p(x). Fica a cargo de curiosidade .