Cubo inscrito

 A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura a seguir.



Determine a medida da aresta desse cubo em função 
de a.

gab: a/3

a face BCD da pirâmide é um triângulo eqilátero de aresta = a√2

DM é uma mediana do ∆BCD e Q o baricentro -----> DQ/QM = 2/1 -----> DQ/DM = 2/3

AM = a√2/2

L = aresta do cubo
PQ = L√2

∆DPQ ~ ∆DAM ----> PQ/AM = DQ/DM ----> L√2/(a√2/2) = 2/3 ----> L.3√2 = a√2 ----> L = a/3

Obrigado pela resolução !
estava travado na questão..
abraço

Mestre, não entendi por que AM é a√2/2 e nem por que o vértice do cubo está no baricentro.

Gustavoadp escreveu:Mestre, não entendi por que AM é a√2/2 e nem por que o vértice do cubo está no baricentro.

1°) por que AM = a√2/2 ?

AB = AC = a
e BÂC = 90°
então BC é a diagonal de um quadrado de lados a. AM É a metade da outra diagonal de tal quadrado.


2°) por que o vértice do cubo está no baricentro?

O baricentro Q, do triângulo equilátero BCD, fica equidistante dos vértices e também dos lados deste triângulo. Como ABCD é um tetraedro tri-ortonormal, ou seja, está alojado num octante, as projeções de Q sobre os três planos dos outros lados também ficam à mesma distância. Aliás esta é a única possibilidade de que o sólido inscrito seja um cubo.

Quando o enunciado pede o "cubo de volume máximo contido em ABCD..." está, na verdade, exigindo que o cubo fique inscrito no tetraedro (poderíamos ter vários cubinhos pequenos e soltos espalhados lá dentro). Porém se tomarmos, sobre o triângulo BCD, qualquer outro ponto fora do baricentro, não teremos um cubo.

Também poder-se-ia pensar assim: cubo de volume máximo ==> aresta máxima ==> diagonal máxima. Como as faces do cubo devem se apoiar no triedro, a máxima diagonal que conseguimos dentro do tetraedro é a sua altura que, neste caso, devido à simetria, cai sobre o baricentro de BCD.