Ponto tangente à circunferência

por DaniloCarreiro Qui 16 Out 2014, 21:13

*Agradeço a ajuda desde já

(UFRGS) Considere a circunferência de centro O e de equação x²+y²=4, e a reta que passa pelo ponto A=(0,6) e é tangente à circunferência em um ponto B do 1º quadrante.[......]

Como descubro esse ponto B doido??
C=(0,0)
A=(0,6)
B=(?,?)
R=2

por PedroCunha Qui 16 Out 2014, 21:45

Olá.

Reta passa por A(0,6): y -6 = m*(x-0) .:. mx - y + 6 = 0

Centro da circunferência (0,0) e raio 2.

Distância da reta a circunferência igual ao raio pois são tangentes:

|m*0 + (-1)*0 + 6|/√(m² + (-1)²) = 2 .:. |6| = 2√(m²+1) .:. 36 = 4m²+4 .:. 9 = m²+1 .:. m = +-2√2

As possíveis retas são: 2√2x - y + 6 = 0 ou -2√2x - y + 6 = 0

Colocando no plano cartesiano, vê-se que a única que passa no primeiro quadrante é -2√2x-y + 6= 0. Encontrando o ponto de tangência:

y = -2√2x + 6 --> x²+y² = 4 .:. x² + (-2√2x+6)² = 4 .:. x² + 8x² - 24√2x + 36 = 4 .:. 9x² - 24√2x + 32 = 0 .:.
x = (24√2 +- 0 )/18 .:. x = 4√2/3 --> y = -16/3 + 6 = 2/3

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Qui 16 Out 2014, 21:52

Faça um bom desenho de um sistema xOy e desenhe a circunferência de cento O(0, 0) e raio R = 2

Plote o ponto A(0, 6) e por ele trace uma reta tangente à circunferência no ponto B(xB, yB) e trace OB = 2

Seja P o o ponto de encontro do prolongamento desta reta com o eixo x

OA² = AB² + OB² ---> 6² = AB² + 2² ---> AB = 4.√2

tgPÂO = tgBÂO = OB/AB = OP/OA ---> 2/4.√2 = OP/6 ---> OP = 3.√2/2

Coeficiente angular da reta ABP ---> m = - 2.√2

Equação da reta ABP, passando por A(0,6) ---> y - 6 = (-2.√2).(x - 6) ---> y = - 2.√2.x + 6

Coordenadas do ponto B:

x² + y² = 4 ---> xB² + (-2.√2.xB + 6)² = 4 ---> Calcule xB e yB