tangente num ponto

por gutogreuel Ter 28 Abr 2015, 22:50

Os gráficos f(x)= x^2+ax+b e g(x)= cx- x^2 têm reta tangente em comum no ponto (1,0). Encontre a,b,c.

por **Carlos Adir** Ter 28 Abr 2015, 23:57

$\\ f(x)=x^2+ax+b \\ f'(x)=2x+a \\ g(x)=cx-x^2 \\ g'(x)=c-2x$
Pelo enunciado, as retas são tangentes nos (1, 0), de inclinação igual, logo:
$\\ f'(1)=g'(1) \\ 2(1)+a=c-2(1) \\ \Rightarrow c=a+4$
Agora, sabemos que (1,0) pertence às duas funções, e são raizes, logo:
$\\ f(1)=g(1)=0 \\ \Rightarrow \begin{cases}(1)^2+a(1)+b=0\\ c(1)-(1)^2=0 \\ (1)^2+a(1)+b=c(1)-(1)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c=1 \\ a=-3 \\ b=2\end{cases}$

Logo, as funções são:
$\begin{cases}a=-3 \\ b=2 \\ c=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \\ f'(x)=2x-3 \\ g(x)=x-x^2=x(x-1) \\ g'(x)=1-2x \end{cases}$

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