Poliedros - 142 - 9.e.f

A figura a seguir apresenta um paralelepípedo reto-retângulo em que a distância do centro da face ABCD ao vértice H mede 10m. Sabendo que a face BCGF é um quadrado cuja diagonal mede 8 raiz de 2m, calcule:

a) o seno do ângulo FOH
b) a razão na qual a diagonal FD divide HO

parece que você já andou calculando as arestas; está correto mas, de qualquer forma, vou refazer.



seja AB=x
AC = BD = √(64+x²) -----> DO = √(64+x²)/2

∆HDO: HO² = HD² + DO² ----> 10² = 8² + (64+x²)/4 -----> x² = 80 -----> x = 4√5
.:. AC = √(64+80) = √144 -----> AC = BD = EG = FH = 12
.:. DO = OB = 12/2 = 6

se HO=10 ----> por simetria, FO=10 -----> ângulos HÔD = FÔB

sen(FÔB) = BF/OF = 8/10 = 0,8
cos(FÔB) = OB/OF = 6/10 = 0,6

FÔH + FÔB + HÔD = 180º -----> FÔH = 180º - 2*FÔB
sen(FÔH) = sen(2*FÔB) -----> sen(FÔH) = 2*sen(FÔB)*cos(FÔB)
sen(FÔH) = 2*0,8*0,6
sen(FÔH) = 0,96

Seja P o ponto de encontro de FD com HO. Vamos olhar o plano BDFH:

∆HPF ~ ∆DPO -----> HF/HP = DO/PO
HP/PO = HF/DO -----> HP/PO = 12/6 -----> HP/PO = 2/1