Combinatória, ou contagem

Boa noite!
(FGV) O número de segmentos de reta que têm ambas as extremidades localizadas nos vértices de um cubo dado é:
a) 12 b)15 c)18 d)24 e)28

Eu sei resolver pela fórmula da combinatória só jogando valores, mas eu só consigo fazer a maioria dos problemas pelo principio da contagem.
O cubo tem 8 vértices, que são tomados 2 a 2, isso eu consegui entender. Porém, minha conta, ficou C8,2 = 8!/2! . 
Então procurei a resolução, e deu que C8,2= 8!/2!6!
Alguém poderia me explicar de onde saiu esse 6, usando o principio da contagem?

Olá ferxx.

Para cada ponto em um vértice, terei a possibilidade de outros 7 para formar o segmento, ou seja:
__ __ __ __ __ __ __ 
7p 7p 7p  7p 7p 7p 7p = 7p x 8 = 56 possibilidade.

Dessa forma, no entanto, eu considero um mesmo segmento 2x, daí é só dividir por 2: 
56/2 = 28.

Só lembrando que a fórmula de Combinação é n!/p!(n-p)!, por isso existe aquele 6 ali (8-2), a fórmula n!/p! é de arranjo, cuidado com isso.

Boa noite, Ferxx

Então, nem todos problemas são assim facilmente resolvidos pelo princípio multiplicativo.
Note que C(8,2) = 8!/(6!2!) mas que C(8,2) não é igual a 8!/2! como você fez.

Pelo princípio multiplicativo, teríamos o seguinte: seja a, b, c, ..., h os vértices.
Temos 8 elementos e queremos saber de quantos modos podemos criar subconjuntos de 2 elementos.
O primeiro elemento pode ser escolhido de 8 modos e o segundo de 7 modos.
8*7 = 56
Porém, cada grupo foi contado tantas vezes quantas são as formas de organizá-lo. Por exemplo, ab e ba, bc e cb, etc. Ou seja, cada grupo foi contado 2 vezes.
56/2 = 28

Aconselho-te que quando puder utilizar-se das combinações, use. Muitíssimos problemas se tornarão inviáveis de ficar se pensando pelo princípio multiplicativo. As combinações já estão aí para facilitar :p