Combinatória de contagem.

Dispomos de cinco pessoas, entre elas Ana, Beto e Ciça. De quantas maneiras elas
podem se sentar em dez cadeiras colocadas em fila:

1)sem restrições?

2)se Beto não senta em nenhuma cadeira localizada antes da cadeira em que Ana
senta?

3)se Ana, Beto e Ciça sentam nesta ordem, não necessariamente em cadeiras
consecutivas?

1) Arranjo, pois a ordem importa:
A10, 5 = 10*9*8*7*6 = 30240 Possibilidades

2) Pode fazer caso a caso:
Se ana senta na ultima, então 0 possibilidades.
Se ana senta na penultima, então 1 possibilidade.
Se ana senta na antepenultima, então 2 possibilidades.
...
Se ana senta na primeira, então 9 possibilidades.
Então a soma:
1+2+3+...+9 = 50 possibilidades.

3) Se os 3 sentam juntos, não importando a ordem, então se selecionarmos 3 cadeiras, as maneiras serão:
3*2*1=6 possibilidades.
Assim, é so permutar, se ocupam 3 cadeiras, então o conjunto total de possibilidades 8:
1,2,3
2,3,4
3,4,5
...
7,8,9
8,9,10
Mas como depois de pegarmos um conjunto de 3 cadeiras, então há 6 possibilidades para fazer. Por exemplo, nas cadeiras 1,2,3 podemos ter um dos casos:
A,B,C -- A,C,B -- B,A,C -- B,C,A -- C,A,B -- C,B,A
Portanto, há 6*8=48 possibilidades.

Mas ai temos de considerar as outras duas pessoas. Se a posição delas importa, então há diferentes casos.
Por exemplo, na letra B, considerando que há somente os 2, então temos 50 possibilidades. Mas como a posição dos outros importa, então temos, pra cada caso da B, temos 8*7*6 = 336 possibilidades.
Portanto, na 2) 336 * 50 = 16 800 Possibilidades.

Na 3) teriamos 48 possibilidades, se existissem somente os 3. Mas como há outras duas pessoas, para cada possibilidade, há 7*6 = 42 possibilidades para as outras duas sentarem:
Ou seja, temos um total de 42*48 = 2 016 possibilidades.

tem 5 pessoas e 5 cadeiras vazias,vamos considerar a cadeira vazia como um elemento,porem como elemento repetido. 

a)Permutação com elementos repetidos.
P10,5(repetidos) = 10!/5! =30240  

b)se a ana senta na cadeira 1 temos 9!/5! 
A _ _ _ _ _ _ _ _ _

a partir da 2 cadeira fazemos 9!/5! - o numero em q beto pode sentar antes de uma cadeira localizada antes da ana. ( n.8!/5!,n é o numeros de cadeiras antes da ana.)

B A _ _ _ _ _ _ _ _ 

9!/5!-(1)8!/5!=2688  


_ _ A _ _ _ _ _ _ _ 
 
n =2 (duas cadeiras antes) 

9!/5! - n.8!/5! 
9!/5! - 2.8!/5! 

...............................

até 9!/5! - (9).8!/5!= 0 ,quando ana estiver a decima cadeira,beto só poderia sentar em uma cadeira antes da ana.Que é proibido. 

Total =  é uma P.A de razão = 8!/5! =336.termo inicial =9!/5! =3024 
Somas dos termos da pa
(3024 + 0).9/2 

13.608

c) beto,ana,ciça ---->1 elemento 
8!/5! . 3!(troca entre eles) =2016 

Tem gabarito?

Mas o somatório 1+2+3+4+5+6+7+8+9 não seria igual a 45?

Na 3) da forma que calcularam fica como se as três pessoas pudessem ficar fora de ordem enquanto que não pode, elas tem que sentar nesta ordem, Ana Beto Ciça, mas não necessariamente consecutiva, ou seja, Ana pode sentar na 1ª cadeira, Beto na 3ª e Ciça na 5ª, porém se Ana sentar na última então Beto e Ciça não sentam. Pelo menos foi o que eu entendi na questão.