Geometria Analítica.VI

por idelbrando Qui 02 Out 2014, 09:09

Na figura a seguir, o triângulo equilátero OAB está representado em um sistema cartesiano ortogonal, e sua área mede 16√3. Qual a equação da reta suporte do lado AB?
a) √3x+3y-24=0
b) x+√3y-16=0
c) -√3x+y-8=0
d) 2x-√3y-10=0
e) 3x-√3y-12=0

Gabarito:

por **Carlos Adir** Qui 02 Out 2014, 09:57

Como o triangulo é equilatero, todos os lados são iguais. Assim:
$A = \dfrac{l^2 \sqrt{3}}{2} \rightarrow 16\sqrt{3}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{2} \rightarrow l^2=32 \rightarrow l=4\sqrt{2}$
Logo, o ponto B equivale a B=(0, 4√2)
O ponto A equivale a
A=(2√6,2√2)
Assim, a equação da reta que une os dois pontos:
$\\y = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}(x - x_2)+ y_2 \\ y = \dfrac{2 \sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}-0}(x-0)+4\sqrt{2} \\ y=-\dfrac{2\sqrt{2} \cdot x}{2\sqrt{6}}+4 \sqrt{2} \\ y = -\dfrac{x+4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \\ y\sqrt{3} = -x + 4\sqrt{6}\\ 3y + x\sqrt{3}-12\sqrt{2}=0$
Perceba que $3y + x\sqrt{3}-12\sqrt{2}=0$ é a equação correta mesmo. Pois ao substituir em qualquer ponto:
$\\3y + x\sqrt{3}-12\sqrt{2}=0\\3 \cdot 4\sqrt{2}+ 0\sqrt{3}-12\sqrt{2}=0\\ 12\sqrt{2}-12\sqrt{2}=0\\.\\.\\ 3 \cdot 2\sqrt{2}+ 2\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}-12\sqrt{2}=0\\ 6\sqrt{2}+6\sqrt{2}-12\sqrt{2}=0\\ 12\sqrt{2}-12\sqrt{2}=0$

Podemos também obter pelo seguinte:
$\\y = ax+b\\ 4\sqrt{2} = a \cdot 0 + b\\ b=4\sqrt{2}\\.\\.\\2\sqrt{2}=a \cdot 2\sqrt{6}+4\sqrt{2}\\a=\dfrac{2\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}\\ a=\dfrac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \rightarrow a=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\\ .\\.\\y=\dfrac{-x}{\sqrt{3}}+4\sqrt{2}$

Ou seja, o correto é $3y+x\sqrt{3}+12\sqrt{2}=0$
e não a letra A

por Sr Seg 16 maio 2022, 15:59

Creio que Carlos tenha se equivocado na fórmula da área do triângulo equilátero, que é: $Geometria Analítica.VI Gif$
Dessa forma, ao encontrar que l = 8. Prossegue-se da seguinte forma:
1) Encontra-se a altura do triângulo, de forma a encontrar o ponto (x,4) da equação. Usando-se da fórmula da altura do triângulo equilátero encontra-se $Geometria Analítica.VI Gif$ .
2) Com isso, podemos montar o determinante de fórmula geral $Geometria Analítica.VI Gif$ que nos levará a equação da reta. Substituindo os valores, chegaremos em: $Geometria Analítica.VI Gif$
Resolvendo o determinante, teremos: √3x+3y-24=0

Resultado que confere com o gabarito.