Geometria

por 2k3d Sáb 02 Mar 2013, 19:38

Na figura ao lado , calcule o lado do triângulo equilátero ABC , sabendo que AD=AE= V7cm , BD=CE= 2cm e DE = 1cm.

RESPOSTA: (5 + V13)/2

Alguém resolve por geometria plana ?

https://2img.net/r/ihimizer/img266/3462/geometria.png

por **adriano tavares** Dom 31 Mar 2013, 19:51

Olá,2K3d.

Eu não estou conseguindo postar imagem, porém vou explicar meu método de resolução.
Trace a partir do vértice E uma perpendicular ao lado BC, dessa maneira você terá um triângulo retângulo de altura x e lado (l-)/2.

Aplicando Pitágoras teremos:

$x^2+\frac{l^2-2l+1}{4}=4$

Vamos aplicar o teorema dos cossenos para encontrar o cosseno do ângulo A.

$1^2=7+7-14cos\alpha \Rightarrow cos \alpha =\frac{13}{14}$

$sen^2 \alpha =1-cos^2 \alpha \Rightarrow sen^2 \alpha =1-\frac{169}{196}\Rightarrow sen\alpha =\frac{3\sqrt{3}}{14}$

Podemos calcular a altura do triângulo isósceles ADE utilizando o conceito de área.

$\frac{1.h}{2}=\frac{\sqrt{7}.\sqrt{7}sen\alpha}{2}\Rightarrow h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Note que x+h é a altura do triângulo equilátero.Dessa forma podemos escrever:

$x+h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}(l-3)}{2}$

Elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

$x^2=\frac{3l^2-18l+27}{4}$

Substituindo na primeira equação teremos:

$\frac{3l^2-18l+27}{4}+\frac{l^2-2l+1}{4}=4 \Rightarrow 2l^2-10l+6=0$

Resolvendo essa equação do 2º grau encontraremos:

$l=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$

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