Lei da Gravitação Universal

Um planeta binário é um sistema formado por dois 
planetas que se atraem mutuamente pela força 
gravitacional e que orbitam em torno do centro de 
massa do sistema. Para que seja considerado planeta 
binário, o centro de massa (c.m.) do sistema não pode 
se localizar dentro de nenhum dos planetas. Suponha 
um planeta binário composto por um planeta maior 
(M) de massa quatro vezes a massa do planeta menor 
(m), ambos realizando órbitas circulares em torno do 
centro de massa. 

Analise as alternativas: 
 
I. O raio da órbita do planeta menor é quatro vezes 
o raio da órbita do planeta maior. 
II. A velocidade escalar do planeta menor é quatro 
vezes maior que a do planeta maior. 
III. O período da órbita do planeta menor é quatro 
vezes maior que o do planeta maior. 
 
 Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 
B) Somente a afirmativa I está correta. 
C) Somente a afirmativa II está correta. 
D) Todas as afirmativas estão corretas. 
E) Somente as afirmativas I e II estão corretas.

I-



II E III-



temos um planeta binário, os dois planetas se movem em relação ao centro de massa, nesse caso, aplicar diretamente as leis da gravitação seria um tanto complicado, deve-se portanto, considerar que em um sistema como esse, as velocidades angulares são iguais, e a partir daí, tirar conclusões da velocidade escalar e o período.

I) Verdadeira
Considere o planeta maior , M, como centro de origem, sendo M = 4m, temos
M--------cm------------------m
      R1               R2
Calcule o centro de massa
Xcm = (M.x1 + m.x2) / (M + m)
Sendo assim,
R1 = [M.0 + m.(R1+R2)] / (5m )
R1 = (R1+ R2)/ 5
5R1 = R1 + R2
4R1 = R2

II) Verdadeira
Agora, temos de calcular a velocidade escalar, sabendo que a velocidade angular tem de ser a mesma.
w = V1/R1 = V2/R2
V1/R1 = V2/4R1
V1 = V2/4
V2 = 4V1

III) Falsa
A velocidade angular é a mesma, portanto, os períodos devem ser iguais:
w = 2pi/T

Abraços

Não entendi o raciocínio utilizado em relação ao centro de massa. Na resolução do Thálisson, por exemplo, o que seria Xm = (X1m1 + X2m2) / m1 + m2;

depois ele iguala Xm = 0. Não entendi esse raciocínio, Xm séria um ponto médio entre o centros de gravidade de m1 e m2 ? porque igualar a zero ? desde já agradeço.

Esse cálculo é para se encontrar a coordenada x do centro de massa, então dispus os dois planetas em linha e sabendo que o centro de massa é externo aos dois planetas , deve ser mais próximo ao planeta de maior massa (4m). 

Assim, a coordenada x do centro de massa é a média ponderada das posições em x, com as correspondentes massas ocupadas em cada uma dessas posições. 

E perceba que eu especifiquei o referencial de estudo, o par de eixos foi colocado em cima do centro de massa, desse modo Xm e Ym = 0 .

Muito obrigado, Thálisson. Não prestei atenção no par de eixos, agora sim.

Tem alguma outra maneira de achar a correspondência entre os raios utilizando fórmulas das leis da gravidade? Tentei utilizando a Força, mas não deu o resultado correto