Triangulo ABC
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Triangulo ABC
por Hoshyminiag Dom 07 Set 2014, 17:08
São dadas, a seguir, as seguintes informações de um triângulo ABC:
- A Base do triângulo é o lado AC
- Traça-se BD, mediana relativa à base AC
- O ângulo BÂC mede 2x; o ângulo DBC, 2x; e o ângulo BCD, x
Calcular, em graus, o complemento do ângulo C do triângulo ABC:
a) 60
b) 65,5
c) 70
D) 75
e) 80
Obs1: A alternativa em negrito corresponde ao gabarito
Obs2: Gostaria que me ensinassem por Trigonometria - 9º ano, já que é a solução mais rápida.
Desde já, obrigado!
- A Base do triângulo é o lado AC
- Traça-se BD, mediana relativa à base AC
- O ângulo BÂC mede 2x; o ângulo DBC, 2x; e o ângulo BCD, x
Calcular, em graus, o complemento do ângulo C do triângulo ABC:
a) 60
b) 65,5
c) 70
D) 75
e) 80
Obs1: A alternativa em negrito corresponde ao gabarito
Obs2: Gostaria que me ensinassem por Trigonometria - 9º ano, já que é a solução mais rápida.
Desde já, obrigado!
Hoshyminiag- Mestre Jedi
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Re: Triangulo ABC
por Elcioschin Dom 07 Set 2014, 18:35
BD é mediana ----> AD = CD = b
BD = a
BÂC = BÂD = 2x
D^BC = 2x
B^CD = x
B^DC + D^BC + B^CD = 180º ---> B^DC + 2x + x = 180º ---> B^DC = 180º - 3x
A^DB + B^DC = 180º ---> A^DB + (180º - 3x) = 180º ----> A^DB = 3x
A^BD + A^DB + + BÂD = 180º ---> A^BD + 3x + 2x = 180º ----> A^BD = 180º - 5x
Lei dois senos:
∆ DBC ---> AD/senA^BD = BD/senBÂD ---> b/sen(180º - 5x) = a/sen2x ---> b/a = sen5x/sen2x ---> I
∆ DBC ---> CD/senD^BC = BD/senB^CD ---> b/sen2x = a/senx ---> b/a = 2,senx.cosx/senx ---> b/a = 2.cosx---> II
I = II ----> sen5x/sen2x = 2.cosx ---> sen(4x + x)/2.senx.cosx = 2.cosx ---> sen4x.cosx + senx.cos4x = 2.senx.cos²x --->
2,sen2x,cos2x.cosx + senx.(1 - 2.sen²x) = 2.senx.(1 - sen²x)
2.senx.cosx.(1 - 2.sen²x)cosx + senx - 2sen³x = 2.senx - 2.sen³x
2senx.cos²x(1 - 2.sen²x) - senx = 0
2.(1 - sen²x).(1 - 2.sen²x) - 1 = 0
Continue e calcule senx e depois calcule x (lemre-se que sen75º = sen(45º + 30º)
BD = a
BÂC = BÂD = 2x
D^BC = 2x
B^CD = x
B^DC + D^BC + B^CD = 180º ---> B^DC + 2x + x = 180º ---> B^DC = 180º - 3x
A^DB + B^DC = 180º ---> A^DB + (180º - 3x) = 180º ----> A^DB = 3x
A^BD + A^DB + + BÂD = 180º ---> A^BD + 3x + 2x = 180º ----> A^BD = 180º - 5x
Lei dois senos:
∆ DBC ---> AD/senA^BD = BD/senBÂD ---> b/sen(180º - 5x) = a/sen2x ---> b/a = sen5x/sen2x ---> I
∆ DBC ---> CD/senD^BC = BD/senB^CD ---> b/sen2x = a/senx ---> b/a = 2,senx.cosx/senx ---> b/a = 2.cosx---> II
I = II ----> sen5x/sen2x = 2.cosx ---> sen(4x + x)/2.senx.cosx = 2.cosx ---> sen4x.cosx + senx.cos4x = 2.senx.cos²x --->
2,sen2x,cos2x.cosx + senx.(1 - 2.sen²x) = 2.senx.(1 - sen²x)
2.senx.cosx.(1 - 2.sen²x)cosx + senx - 2sen³x = 2.senx - 2.sen³x
2senx.cos²x(1 - 2.sen²x) - senx = 0
2.(1 - sen²x).(1 - 2.sen²x) - 1 = 0
Continue e calcule senx e depois calcule x (lemre-se que sen75º = sen(45º + 30º)
Elcioschin- Grande Mestre
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