Geometria Analítica - Determinar Coordenadas

Sendo A (1, 3) e B o simétrico de A em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, determine as coordenadas de A e B, após uma rotação de 90° de AB, no sentido horário, em torno do seu ponto médio.

Gabarito: A(3; 3) B(1; 1)

- marque o ponto A( 1, 3 ) e trace a bissetriz dos quadrantes ímpares ( y = x )

- determine a reta perpendicular à bissetriz que passa pelo ponto A

m = -1

y - 3 = - 1*( x -1 ) -> y = - x + 4


- determine a interseção da reta y = x com a reta y = - x + 4:

x = - x + 4 -> 2x = 4 -> x = 2 -> y = 2 -> ponto M( 2, 2 )


- M é o ponto médio de AB, então o ponto simétrico de A:

2 = ( Xb + 1 )/2 -> Xb = 3

2 = ( Yb + 3 )/2 -> Yb = 1

B( 3, 1 )


- note que ao rotacionar AB de 90° os novos pontos A' e B' pertencerão à bissetriz


- determinação de A' e B':

- distância do ponto A ao ponto M:

d²(A,M) = (1-2)² + (3-2)² = 2


seja a circunferência de centro C( 2, 2 ) e raio igual a \/2

( x - 2 )² + ( y - 2 )² = 2

- interseção da circunferência com a bissetriz:

( x - 2 )² + ( x - 2 )² = 2

x² - 4x + 4 + x² - 4x + 4 = 2

2x² - 8x + 6 = 0

x² - 4x + 3 = 0

raízes: x = 3 ou x = 1

para x = 3  -> y = 3 ->  A' ( 3 , 3 )

para x = 1 -> y = 1 -> B' ( 1 , 1 )

Jose Carlos escreveu:- marque o ponto A( 1, 3 ) e trace a bissetriz dos quadrantes ímpares ( y = x )

- determine a reta perpendicular à bissetriz que passa pelo ponto A

m = -1

y - 3 = - 1*( x -1 ) -> y = - x + 4


- determine a interseção da reta y = x com a reta y = - x + 4:

x = - x + 4 -> 2x = 4 -> x = 2 -> y = 2 -> ponto M( 2, 2 )


- M é o ponto médio de AB, então o ponto simétrico de A:

2 = ( Xb + 1 )/2 -> Xb = 3

2 = ( Yb + 3 )/2 -> Yb = 1

B( 3, 1 )


- note que ao rotacionar AB de 90° os novos pontos A' e B' pertencerão à bissetriz


- determinação de A' e B':

- distância do ponto A ao ponto M:

d²(A,M) = (1-2)² + (3-2)² = 2


seja a circunferência de centro C( 2, 2 ) e raio igual a \/2

( x - 2 )² + ( y - 2 )² = 2

- interseção da circunferência com a bissetriz:

( x - 2 )² + ( x - 2 )² = 2

x² - 4x + 4 + x² - 4x + 4 = 2

2x² - 8x + 6 = 0

x² - 4x + 3 = 0

raízes: x = 3 ou x = 1

para x = 3  -> y = 3 ->  A' ( 3 , 3 )

para x = 1 -> y = 1 -> B' ( 1 , 1 )

Complicada essa questão, mas consegui entender. Sua resolução foi ótima, obrigado