GEOMETRIA ANALITICA

Andar de bicicleta é um exercício que, dentre outros benefícios à saúde, contribui para a prevenção de doenças cardiovasculares. Pesquisando um modelo adequado a seu porte físico, um estudante encontrou o desenho de uma bicicleta, figura 1, cuja estrutura evidenciava elementos geométricos. Para reproduzir alguns desses elementos em um sistema de coordenadas cartesianas de origem O, desprezando-se a espessura das linhas, ele desenhou rodas circulares de mesmo raio com centros, O e P, no eixo das abscissas, um trapézio isósceles OPBC e um triângulo equilátero OAC. 


Se M = (13, 4) e N = (20, 3) são pontos de uma das circunferências representadas na figura 2, então o diâmetro dessa circunferência mede, em u.c?
R:10

Considerando-se que a reta de equação 3x – 3y + 4 = 0 tem a mesma direção do segmento AB, é correto afirmar: 
01)O ângulo CÂB mede 45º. 
02)O ângulo CÂB mede 65º. 
03)O quadrilátero ABCO é um losango. 
04)AC é o menor lado do triângulo ABC.
05) Toda reta paralela ao segmento AC tem coeficiente angular positivo  

1ª parte:
do enunciado, temos P(x, 0); seja M e N pertencentes à circunferência de centro P.
R² = (x-13)² + (0-4)² = (20-x)² + (3-0)²
x² - 26x + 169 + 16 = 400 - 40x + x² + 9
14x = 224
x = 16

R² = (16-13)² + 16 = 9 + 16 = 25 -----> R = 5 u.c. -----> D = 10 u.c.

2ª parte:
Vá marcando os ângulos na figura, à medida em que calculamos.
∆OAC é equilátero -----> ângulos CÔA = OÂC = A^CO = 60º
r: 3x – 3y + 4 = 0 -----> y = x + 4/3 -----> m_r = 1 -----> 45º
r // AB -----> AB também tem inclinação de 45º -----> PÂB = 45º
.:. C^BA = PÂB = 45º (alternos internos)
no ângulo raso OÂP: CÂB = 180º - (CÂO + PÂB) = 180º - (60º + 45º) -----> CÂB = 75º
no ∆ABC: B^CA = 180º - (CÂB + C^BA) = 180º - (75º+45º) -----> B^CA = 60º
Agora as alternativas.

01)O ângulo CÂB mede 45º. --> FALSO, vimos que B^CA = 60º.

02)O ângulo CÂB mede 65º. --> também FALSO.

03)O quadrilátero ABCO é um losango. --> FALSO. Losango é o quadrilátero com os 4 lados iguais, não perpendiculares, de diagonais diferentes mas cruzando-se em ângulo reto e com os ângulos opostos iguais. Ora, os ângulos do quadrilátero OABC, conforme calculamos, valem: 60º, 135º, 45º e 120º. Isto nunca foi um losango.

04)AC é o menor lado do triângulo ABC. --> VERDADE. Pela lei dos senos,
AB/sen60º = BC/sen75º = AC/sen45º
Como o sen45º é o menor dos três, para manter a proporção, também o segmento AC deve ser o menor dos três.

05) Toda reta paralela ao segmento AC tem coeficiente angular positivo. --> FALSO. A declividade de AC é a da tangente da soma dos ângulos
m_AC = tg(PÂB+BÂC) = tg(45º+75º) = tg(120º) = tg(-60º) = -√3.
.:. AC tem coeficiente angular NEGATIVO.