Análise Combinatória VI.

Uma biblioteca tenta organizar 4 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Geografia e 2 livros diferentes de Inglês em uma estante. O número de modos distintos de organização de tal forma que os livros de mesmo disciplina estejam sempre juntos e que os de Geografia apareçam sempre na mesma ordem. Assim o número de possibilidades dessa arrumação é de:
a) 48
b) 50
c) 96
d) 288
e) 1 152

Gabarito: D

4 mat ---> 4! modos
4 geo ---> 1 modo
2 Ing ---> 2 modos
Formas de organizar os blocos formados pelos livros de cada matéria: 3!

4!*1*2*3! = 288

Hgp2102 escreveu:4 mat ---> 4! modos
4 geo ---> 1 modo
2 Ing ---> 2 modos
Formas de organizar os blocos formados pelos livros de cada matéria: 3!

4!*1*2*3! = 288

Olá Hgp2102
Tenha dúvidas.

Porque os 4 de geografia tem que ser de 1 modo? E porque 3!  ? E se eu mudar a ordem desta sua organização para 4!*3!*2*1 estaria ilógico caso sim porque?     

"os de Geografia apareçam sempre na mesma ordem" significa que só há 1 modo de organizá-los entre si.


Repare que há 2 tipos de organização no problema:
i) a feita entre os livros de uma mesma matéria, por exemplo o 4! é desta natureza, pois há 4! formas de organizar os livros de matemática entre si. O mesmo é válido para o 1 modo de geografia e 2 modos de inglês.
ii) a organização dos blocos de livros formados por uma mesma matéria. Após organizar os livros de um mesmo assunto entre si, devemos organizá-los entre os de outras matérias. Como permanecem juntos os de uma mesma matéria, você pode enxergar como 1 bloco de livros geografia, 1 bloco de matemática e 1 bloco de inglês. Dessa forma, há 3! formas de organizar os blocos após ter organizado os livros entre si.

A sua ordem 4!*3!*2*1 é exatamente igual a minha 4!*1*2*3!, dá o mesmo resultado. Para que eu possa dizer se sua lógica para formar sua ordem é errada, especifique a que se refere cada fator que você escreveu para que eu possa dizer se condiz.

Hgp2102 escreveu:"os de Geografia apareçam sempre na mesma ordem" significa que só há 1 modo de organizá-los entre si.


Repare que há 2 tipos de organização no problema:
i) a feita entre os livros de uma mesma matéria, por exemplo o 4! é desta natureza, pois há 4! formas de organizar os livros de matemática entre si. O mesmo é válido para o 1 modo de geografia e 2 modos de inglês.
ii) a organização dos blocos de livros formados por uma mesma matéria. Após organizar os livros de um mesmo assunto entre si, devemos organizá-los entre os de outras matérias. Como permanecem juntos os de uma mesma matéria, você pode enxergar como 1 bloco de livros geografia, 1 bloco de matemática e 1 bloco de inglês. Dessa forma, há 3! formas de organizar os blocos após ter organizado os livros entre si.

A sua ordem 4!*3!*2*1 é exatamente igual a minha 4!*1*2*3!, dá o mesmo resultado. Para que eu possa dizer se sua lógica para formar sua ordem é errada, especifique a que se refere cada fator que você escreveu para que eu possa dizer se condiz.

Olá Hgp2102.
Eu compreendi que 1 modo atribuído aos 4 livros de geografia é porque os de matemática há a mesma quantidade de livros que é também 4, logo caso os de geografia tivesse quantidade distinta de livros de matemática ai sim teria que fatorar. Por exemplo: Caso os de geografia foce 5 livros ai ficaria 4!*5!*2!*3!, assim o resultado seria diferente de 288 e seria 34 560, logo eu estaria certo sobre isso?

idelbrando, use um pouco de bom senso: o nosso problema têm como resposta 288, certo? você acha que se aumentássemos apenas 1 livro o resultado pularia para um número absurdamente grande como 34560? É claro que não.

A quantidade de livros de geografia NADA tem a ver com as formas como posso organizar os de matemática.

Há 1 modo de organizar os livros de geografia porque o exercício pede que eles aparecem numa mesma ordem dada. Ou seja, os 4 livros de geo só podem aparecer na ordem ABCD; nem BACD, nem CDAB, nada. APENAS ABCD. Isso resulta que, uma vez que só há 1 modo de organizá-los, os 4 livros de geografia têm um comportamento como se fossem 1 só, pois eu não posso fazer nada com eles, apenas deixá-los na única ordem já pedida.

Os 4 livros de mat., por sua vez, podem aparecer em qualquer ordem, então posso organizá-los entre si de 4! formas.

Os 2 de inglês podem ser organizados na forma AB ou BA, então há 2 formas de organizá-los entre si.


Os 4 livros de geo. podem ser organizados apenas de 1 forma entre si, como pede o enunciado.

Feito isso, os blocos de livros de cada matéria devem permanecer juntos, então podemos imaginar os livros de cada matéria como se estivessem dentro de caixas separadas. Uma caixa para mat., uma para inglês e uma para geo., ou seja, 3 caixas. De quantas formas podemos organizar essas 3 caixas? 3! modos. E os livros dentro das caixas? Como já vimos, 4! para mat., 2 para inglês e 1 para geo.. Assim, a resposta é 4!*2*1*3! = 288.

Eu não consigo explicar melhor que isso, então espero que tenha compreendido. Se não, recomendo que estude combinatória pelo livro do Morgado. Provavelmente vai sofrer muito no começo mas vai valer a pena.

Hgp2102 escreveu:idelbrando, use um pouco de bom senso: o nosso problema têm como resposta 288, certo? você acha que se aumentássemos apenas 1 livro o resultado pularia para um número absurdamente grande como 34560? É claro que não.

A quantidade de livros de geografia NADA tem a ver com as formas como posso organizar os de matemática.

Há 1 modo de organizar os livros de geografia porque o exercício pede que eles aparecem numa mesma ordem dada. Ou seja, os 4 livros de geo só podem aparecer na ordem ABCD; nem BACD, nem CDAB, nada. APENAS ABCD. Isso resulta que, uma vez que só há 1 modo de organizá-los, os 4 livros de geografia têm um comportamento como se fossem 1 só, pois eu não posso fazer nada com eles, apenas deixá-los na única ordem já pedida.

Os 4 livros de mat., por sua vez, podem aparecer em qualquer ordem, então posso organizá-los entre si de 4! formas.

Os 2 de inglês podem ser organizados na forma AB ou BA, então há 2 formas de organizá-los entre si.


Os 4 livros de geo. podem ser organizados apenas de 1 forma entre si, como pede o enunciado.

Feito isso, os blocos de livros de cada matéria devem permanecer juntos, então podemos imaginar os livros de cada matéria como se estivessem dentro de caixas separadas. Uma caixa para mat., uma para inglês e uma para geo., ou seja, 3 caixas. De quantas formas podemos organizar essas 3 caixas? 3! modos. E os livros dentro das caixas? Como já vimos, 4! para mat., 2 para inglês e 1 para geo.. Assim, a resposta é 4!*2*1*3! = 288.

Eu não consigo explicar melhor que isso, então espero que tenha compreendido. Se não, recomendo que estude combinatória pelo livro do Morgado. Provavelmente vai sofrer muito no começo mas vai valer a pena.

Olá Hgp2102.
Entendi perfeitamente, porquanto não estava entendendo, decerto, o enunciado. Obrigado por ter-me explicado entrelinhas e também agradeço por recomendar para mim o tal livro de Morgado, pois irei consultar essa doutrina.
 :tiv: