Fuvest geometria

Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento,como na figura.M e N são os pontos médios de AB e CD, respectivamente.Para cada ponto P da reta AE, seja Q o ponto de interseção das retas PM e BF.








Sabendo que o triangulo PQN é isosceles (PN=NQ). A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o triângulo PQN seja retângulo ?

resposta:

Parece-me que faltou o enunciado definir quais são os lados iguais do triângulo isósceles: PN = PQ ou PQ= QN ou PQ = QN ?

Elcioschin escreveu:Parece-me que faltou o enunciado definir quais são os lados iguais do triângulo isósceles: PN = PQ ou PQ= QN ou PQ = QN ?

Quando ele se refere ao triângulo PQN, quando o Q está no centro não significa dizer que necessariamente ali deve estar o ângulo de 90?

Supondo que seja, isto é, PQ = NQ, vou dar as dicas:

Sejam Q' e Q" os pés das perpendiculares de Q sobre AE e CB, respectivamente.

Seja AP = x ---> AM = BM = 1/2 --->  ∆ PAM ~ ∆ BQM ---> BQ = x ---> AQ' = CQ" = x


Seja R o ponto médio de GH. Trace NR e seja S um ponto de NR, tal que NS = x

PQ² = Q'P² + Q'Q"² ---> PQ² = (2x)² + 1² ---> PQ² = 4x² + 1

QS² = Q"S² + Q"Q² ---> QS² = (1/2)² + 1² ---> QS² = 5/4

NQ² = NS² + QS² ---> NQ² = x² + 5/4

PQ = NP ----> PQ² = NP² ----> Complete

OBS.:
o triângulo PQN é sempre isósceles de base PQ; ou seja, as 'pernas iguais' são NP = NQ.

Isto acontece porque os pontos M e N estão fixos no meio das respectivas arestas. Suponha um outro cubo sobre o primeiro. À medida que o ponto P desloca-se para cima ou para baixo, o ponto Q desloca-se inversamente para baixo ou para cima. De tal sorte que quando tivermos P≡A também teremos Q≡B.

Resta saber quando o ângulo ^PNQ torna-se reto. Considere o triângulo isósceles PNQ retângulo em N.
^PNQ = 90º -----> ^PNM = 45º

no triângulo PNM, retângulo em M, temos
tg45º = PM/MN -----> 1 = PM/1 ----> PM = 1

agora, aplicando Pitágoras no triângulo PAM, retângulo em A, obtemos:
PA² = PM² - AM²
PA² = 1² - (1/2)²
PA² = 3/4 ------------> PA = √3/2