Ângulo agudo e probabilidade
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Ângulo agudo e probabilidade
por BiancaSiqueira Sáb 19 Jul 2014, 20:16
U ponto P é escolhido ao acaso no interior de um quadrado QRST. Qual é a probabilidade de o ângulo rPq ser agudo?
Resposta: 1 - π/8
Eu imagino que quando o poNto P está na linha que divide RQ e ST ao meio e quando o ângulo da base do triângulo isósceles RPQ for menor que 44°, o ângulo vai ser obtuso. Então o ângulo da base do triângulo isósceles deve ser maior que 45º. Mas não sei como expressar isso...
Resposta: 1 - π/8
Eu imagino que quando o poNto P está na linha que divide RQ e ST ao meio e quando o ângulo da base do triângulo isósceles RPQ for menor que 44°, o ângulo vai ser obtuso. Então o ângulo da base do triângulo isósceles deve ser maior que 45º. Mas não sei como expressar isso...
BiancaSiqueira- Recebeu o sabre de luz
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Re: Ângulo agudo e probabilidade
por Medeiros Sáb 19 Jul 2014, 22:41
Trace, dentro do quadrado, uma semicircunferência ℓ de diâmetro RQ.
Enquanto P excursionar sobre ℓ, temos o ângulo RPQ=90º.
Quando P for interno ao semicírculo ℓ, temos ^RPQ>90º.
Portanto, o ângulo RPQ será agudo (^RPQ<90º) sempre que P estiver fora do semicírculo ℓ (e dentro do quadrado).
Seja a a aresta do quadrado.
área do quadrado: S = a²
área do cemicírculo: S' = pi.a²/8
área do quadrado fora do semicírculo: S'' = S - S' = a².(1 - pi/8 )
A probabilidade pedida é:
p = S''/S = 1 - pi/8
Enquanto P excursionar sobre ℓ, temos o ângulo RPQ=90º.
Quando P for interno ao semicírculo ℓ, temos ^RPQ>90º.
Portanto, o ângulo RPQ será agudo (^RPQ<90º) sempre que P estiver fora do semicírculo ℓ (e dentro do quadrado).
Seja a a aresta do quadrado.
área do quadrado: S = a²
área do cemicírculo: S' = pi.a²/8
área do quadrado fora do semicírculo: S'' = S - S' = a².(1 - pi/8 )
A probabilidade pedida é:
p = S''/S = 1 - pi/8
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