relação métrica no polígono inscrito

Obrigada.

Suponha que três cidades, indicadas por A, B E C, sejam, num mapa, os vértices de um triângulo equilátero. Sabe-se que a distância entre uma cidade e outra é de 72Km. Qual seria o comprimento do raio de uma circunferência que passa pelas três cidades?

Resposta é 24 raiz de 3 Km.

Olá!

P.S.: Considere "#" como raiz

Essa questão exige alguns conhecimentos de desenho geométrico, como o circuncentro. O circuncentro é o ponto encontrado pelas mediatrizes dos lados, ou seja, uma reta que é perpendicular a metade do lado. No caso do triângulo equilátero, o circuncentro acaba coincidindo com a bissetriz do vértice oposto ao lado, sendo que a bissetriz é a "metade"do ângulo, até porque os ângulos do triângulo equilátero são todos iguais (60).

Considere a imagem genérica:

Spoiler:

Calculei o Raio AD com base no triângulo ADC e a lei dos cossenos (chamei AD de w):

72² = w² + w² - 2.w².-1/2
72² = w² + w² + w²
72² = 3w²
72.72/3 = 72.24 = w²

Fatorando:

w² = 2³.3².2³.3
w² = 2^6.3².3³
w = 2^3.3.#3
w = 8.3.#3
w = 24.#3

Mas aí pesquisei um pouco, e descobri uma informação interessante a esse respeito, segue link: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140315153815AAyGJwn

Vide trecho::

Fica indicado que AD é 2/3 da altura. A altura pode ser calculada:


72² = 36² + x²
x² = 3888
x ~= 62,35


x.2/3 ~= 41,5666..., sendo que 24.#3 ~= 41,57.


Abraço!

as três cidades são vértices de um triângulo equilátero de lado L=72 km. A circunferência que passa pela três cidades é circunscrita ao triângulo por elas formado e tem seu centro no baricentro do triângulo.

R = (2/3).H
onde H é a altura e também mediana desse triângulo.

H² = 72² - (72/2)² -----> H = 72(√3)/2 km

.:. R = 24√/3 km