Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf.

por Lucas menezes Qua 11 Jun 2014, 18:58

No retângulo ACDE da figura, o ponto P é o ponto do lado CD que enxerga AB sob angulo maximo. Sendo AB=10 cm e BC = 8 cm, determine PC.
[img] Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. 9leq39

Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. 9leq39

[/img]
Resp. 12 cm

O que vem a ser esse tal de angulo maximo?

Obrigado

por diego_barreto Qui 12 Jun 2014, 13:09

O ângulo máximo que ele menciona é o maior ângulo APB que se pode obter movendo o ponto P.
Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. 2vxesk3

Nessa figura eu acho que seria o desenho da figura 3 (só no olho mesmo).

por **ivomilton** Qui 12 Jun 2014, 16:12

diego_barreto escreveu:O ângulo máximo que ele menciona é o maior ângulo APB que se pode obter movendo o ponto P.

Nessa figura eu acho que seria o desenho da figura 3 (só no olho mesmo).

Boa tarde, Diego.

Só consegui fazer usando derivadas...

tg(APB) = tg(APC - BPC)

Façamos, para facilitar a leitura:
α = ^APB
β = ^APC
γ = ^BPC

tgα = tg(β-γ)

Fórmula:
tg(a-b) = (tga - tgb)/(1 + tga.tgb)

tg(β-γ) = (tgβ - tgγ)/(1 + tgβ.tgγ)

tgβ = tg(APC) = 18/x
tgγ = tg(BPC) = 8/x

tg(β-γ)=(18/x - 8/x)/[1+(18/x)(8/x)]=(10/x)/(1+144/x²)=(10/x)/[(x²+144)/x²]
tg(β-γ)=(10/x).[x²/(x²+144)=(10x)/(x²+144)

δ[(10x)/(x²+144)]=10(x²-144)/(x²+144)²

Calculando o valor máximo de x):
10(x²-144)/(x²+144)² = 0
10(x²-144) = 0
x²-144 = 0
x²=144
x=√144
x=12 cm

Um abraço.