Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf.

por Lucas menezes Qua 11 Jun 2014, 18:52

UFOP-MG

UM circulo de raio r encontra-se inscrito em um triangulo ABC isosceles, retangulo em B, que, por sua vez, está inscrito em um circulo de raio R,conforme mostra a figura.
[img] Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. 29f9xxv

Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. 29f9xxv

[/img]
É correto afirmar que r/R vale:

Resp. $Geom. Plana / Relações Metricas na Circunf. %5Csqrt%7B2%7D+1$

por **Elcioschin** Qua 11 Jun 2014, 20:04

Sejam O e O' os centros dos círculos maior e menor e M, N os pontos de tangência do menor com AB e BC
Seja a = AB = BC

Ligue O' com O, com M e com n ----> O'O = O'M = O'N = r

BC = AB = R ----> AC = 2R

AB² + BC² + AC² ----> a² + a² = (2R)² ----> a = R.√2

BM = BN = r ----> AM = AB - BM ---> AM = a - r ---> AM = R√2 - r

AM = AO ----> R√2 - r = R ----> r = R.(√2 - 1) ----> r/R = √2 - 1 ou R/r = 1/(√2 - 1) = √2 + 1

Gabarito não confere, Será que você digitou errado r/R ao invés do correto R/r ?

E você não está seguindo a Regra XI do fórum: parece que você esqueceu de postar as alternativas!