Estabelecer limites usando definição formal

por Kingflare Dom 08 Jun 2014, 18:25

Estabeleça o limite usando a definição formal de limites, isto é, para qualquer $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ encontre um $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ tal que : |f(x)-L| < $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ sempre que 0 <| x -a |< $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ :

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$
Gabarito: $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ min(1,( $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ +3) $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ )

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$
Gabarito: $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ min(1,1/6 $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ )

por Man Utd Dom 08 Jun 2014, 23:39

Olá

A)

Pela definição de limite temos :

$\\\\ \left| x-4\right|< \delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \sqrt{x+5}-3 \right|< \epsilon$

Agora lembre-se do produto notavél :

$\\\\ a^2-b^2=(a-b)*(a+b) \\\\ a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$

substituindo os valores :

$\\\\ \sqrt{x+5}-3=\frac{x-4}{\sqrt{x+5}+3}$

então :

$\\\\\\ \left| x-4 \right|< \delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \frac{x-4}{\sqrt{x+5}+3} \right|<\epsilon \\\\\\ \left| x-4 \right|< \delta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right| \cdot \left|x-4\right|<\epsilon$

agora perceba que teremos que limitar $\left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right|$ por uma constante afim de obter a relação de epsilon e delta, para isso vamos limitar delta assim :

$\\\\ |x-4|<\delta=1 \\\\ |x-4|<1 \\\\ 3<x<5$

Lembrando que poderíamos limitar delta de infinitos outros modos como : $\\\\\\\ \delta=\frac{1}{2} \;\;\;\;\;\; , \;\;\;\;\;\; \delta=\frac{1}{4} \;\;\;\;\; ,\cdots$

a função $\left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right|$ no intervalo $3<x<5$ é limitada por : $\frac{1}{\sqrt{10}+3}< \left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right| <\frac{1}{\sqrt{8}+3}$ para ver isso bastar ver o gráfico ou perceber que a função é bem comportada e testar os valores do intervalo (3,5).

Então :

$\\\\\\\ \left| x-4 \right|< \delta \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; \left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3} \right| \cdot \left|x-4\right|< \frac{1}{\sqrt{8}+3} \cdot |x-4|<\epsilon \\\\\\\ \left| x-4 \right|< \delta \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; \frac{1}{\sqrt{8}+3} \cdot |x-4|<\epsilon \\\\\\\ \left| x-4 \right|< \delta \;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x-4|<(\sqrt{8}+3)\epsilon$

agora podemos tomar : $\\\\\\\ \delta=(\sqrt{8}+3)\epsilon$

Agora temos que provar que essa escolha de delta funciona, então :

$\\\\\\\ \left| \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\right| \cdot \left|x-4\right|< \frac{1}{\sqrt{8}+3} \times \delta =\frac{1}{\sqrt{8}+3} \times (\sqrt{8}+3)\epsilon=\epsilon$

o que prova que realmente funciona, então temos dois valores para delta, o mais útil será o menor deles , então a notação para isso é : $\\\\\\\ \delta_{min}= \left[1 \; , \; (\sqrt{8}+3)\epsilon \right]$

Se tiver alguma dúvida pergunte,consegue fazer a outra utilizando um raciocinio semelhante a esse?

por Kingflare Seg 09 Jun 2014, 19:10

Nossa Man Utd, muito obrigado! Nossa, que visão "ninja" para enxergar o produto notável ali eim ahah. Bem, eu tentei resolver a questão, consegui achar o resultado do gabarito ,mas não tenho certeza se fiz tudo certo, ok ? Segue:

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Após aplicar soma e produto, encontrei as raízes da equação: S{ -3,2}. Sendo assim rescrevi a equação na forma:

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Após isso, adotei Delta = 1

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Para x-2, no intervalo acima:

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Logo:
|x+3|*|x+2|< $Estabelecer limites usando definição formal Gif$
|x+3|*|-6|< $Estabelecer limites usando definição formal Gif$
|x+3|< $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ /6
Assim: $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ = $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ /6

Agora, provando que a relação de delta vale :

|x+3|*|x-2| < |-6| * $Estabelecer limites usando definição formal Gif$
|x+3|*|x-2| < 6* $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ /6
|x+3|*|x-2| < $Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Assim, a relação é verdadeira e temos que delta precisa ser: $Estabelecer limites usando definição formal 6%29$

Está correto ? Mais uma vez, muito obrigado pelos esclarecimentos!

por Man Utd Seg 09 Jun 2014, 20:46

Olá

$Estabelecer limites usando definição formal Gif$

Esta afirmação apesar de ser correta não é o que queremos, pois queremos limitar $|x-2|$ e não $x-2$ perceba que não podemos colocar esta expressão em módulo pois não é sempre positiva naquele intervalo na verdade nunca é positiva naquele intervalo, então o que podemos fazer é esboçar $|x-2|$ no intervalo $-4<x<-2$ , daí obtemos $4<|x-2|<6$ , então :

$\\\\ |x-2| \cdot|x-3|<6 |x-3|<\epsilon \\\\ 6 |x-3|<\epsilon \\\\ |x-3|<\frac{\epsilon}{6}$

Segue que : $\\\\ \delta=\frac{\epsilon}{6}$ , testando que funciona :

$\\\\ |x-2| \cdot|x-3|<6\delta=6\left(\frac{\epsilon}{6} \right ) =\epsilon$

Realmente funciona, a resposta é : $\\\\ \delta_{min}=\left(1 \; , \; \frac{\epsilon}{6} \right )$

por Kingflare Seg 09 Jun 2014, 21:23

Ah sim, só mais uma pergunta e desculpa qualquer coisa mas nesse $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ , tanto o -4 quanto -6 passaram a ser positivos pois agora estamos tratando do módulo de x-2, correto ? Abraços e obrigado!

por Man Utd Seg 09 Jun 2014, 21:55

Kingflare escreveu:Ah sim, só mais uma pergunta e desculpa qualquer coisa mas nesse $Estabelecer limites usando definição formal Gif$ , tanto o -4 quanto -6 passaram a ser positivos pois agora estamos tratando do módulo de x-2, correto ? Abraços e obrigado!

Não foi esse o raciocínio, simplesmente esboçei a função $|x-2|$ no intervalo $-4<x<-2$ , aí percebi que $4<|x-2|<6$ .Veja o gráfico :

Estabelecer limites usando definição formal 2qbtb3q