Soma de números - problema 1

Relembrando a primeira mensagem :

Vejam essa fórmula:

Quando n for par vocês usam essa fórmula: S=n(n+2)(2n+1)/8
Quando n for ímpar vocês usam a mesma fórmula, só que subtrai 1 no fim: S=n(n+2)(2n+1) - 1 / 8

n=1, S=1
n=2  S=5
n=3, S=13
n=4, S=27
n=5, S=48
n=6, S=78
n=7, S=118

E assim por diante....

A minha dúvida é a seguinte: como que eu faço para descobrir uma fórmula que sirva para calcular a soma do resultado das n primeiras parcelas de S ? Ou seja que fórmula eu devo usar, por exemplo para achar a soma de: 1+5+13+27+48+78+118 ?(nesse caso seria a soma das sete primeiras parcelas).

Por favor, se alguém conseguir me mostre a fórmula, porque eu estou há vários dias tentando descobrir e não consigo.

Obrigado.

Olá alexandre, o que vc quer é uma fórmula geral para ∑S[n] certo?
Antes de mais nada, é útil ter em mente os valores dos somatórios conhecidos:
∑k = n(n+1)/2 ; ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6 ; ∑k³ = [n(n+1)/2]² com k de 1 a n.

S' = ∑S[n] = ?
S' = ∑ [ k(k+2)(2k+1)/8 ] , k de 1 a n
S' = ∑ [ (2k³+5k²+2k)/8 ]
S' =  ∑(2k³/8) + ∑(5k²/8) + ∑(2k/8)
S' = (2/8)∑k³ + (5/8)∑k² + (2/8)∑k
S'[n] = (2/8)[(n(n+1)/2)²] + (5/8)[n(n+1)(2n+1)/6] + (2/8)[n(n+1)/2]
essa é a fórmula geral para o cálculo da soma dos n primeiros termos de S para n par, se vc quiser desenvolver, com algum algebrismo vc vai chegar em :
S'[n] = n(n+1)(3n²+13n+11)/48

para obter S' para n ímpar :
S' = ∑ [ ( k(k+2)(2k+1) - 1)/8 ] , k de 1 a n
S' = ∑ [ k(k+2)(2k+1)/8 ] - ∑ [ 1/8 ]
S'[n] = [n(n+1)(3n²+13n+11)/48 ]  - (n/8)

Luck, poderia, por gentileza, explicar com mais detalhes?

Obrigado desde já.

PedroX escreveu:Luck, poderia, por gentileza, explicar com mais detalhes?

Obrigado desde já.

sim, mas que parte vc não entendeu?

@Luck
Essa parte:

∑k² = n(n+1)(2n+1)/6 ; ∑k³ = [n(n+1)/2]² com k de 1 a n.

Não percebi de onde vieram as equações acima. O resto entendi, porque no geral é manipulação.

@Alexandre
Agora que vi que sua mensagem foi editada. O link é:
http://jsfiddle.net/vdg7t/3/embedded/result/

Obs: É possível personalizar o programa. Basta me avisar.

Muito obrigado mesmo Luck pelas fórmulas e muito obrigado PedroX pela sua atenção.

Um grande abraço

Alexandre

PedroX escreveu:@Luck
Essa parte:

∑k² = n(n+1)(2n+1)/6 ; ∑k³ = [n(n+1)/2]² com k de 1 a n.

Não percebi de onde vieram as equações acima. O resto entendi, porque no geral é manipulação.

@Alexandre
Agora que vi que sua mensagem foi editada. O link é:
http://jsfiddle.net/vdg7t/3/embedded/result/

Obs: É possível personalizar o programa. Basta me avisar.

Esses são os resultados dos somatórios do quadrados e dos cubos e é útil ter decorado para resolver questões.. Tem várias formas de demonstrar: números binomiais, pertubação de somatórios, indução, etc.. e tu pode encontrar aqui mesmo no fórum.

Ah, sim. São fórmulas. Pensei que era algo específico da sequência. Vou procurar uma demonstração futuramente, mas agora já percebo do que se trata.

A do cubo é mais fácil de decorar. Mas a do quadrado é complicada.

Obrigado.

Oi,

Esse problema dos triângulos eu já conhecia faz algum tempo e nunca tinha conseguido resolver, eu gostei da fórmula :
S=n(n+2)(2n+1)/8 , com ela dá para achar a quantidade de triângulos, mas a minha dúvida é essa, vamos supor que ninguém saiba essa fórmula, qual é o raciocínio que se deve usar para encontrar o número de triângulos ? E qual seria a forma de descobrir essa fórmula ?

Obrigado

Por favor, alguém aqui poderia me explicar como se calcula a quantidade de triângulos de uma determinada figura sem usar essa fórmula: S=n(n+2)(2n+1)/8 ?

E depois, alguém poderia me explicar como é que chega nessa fórmula ?

Obrigado.

Essa já é outra dúvida e portanto deve ser postada em novo tópico.

E já achei uma solução (não minha).