[OBM - Problema com soma]

Um esboço feito no Excel. É claro que você não precisaria do Excel para chegar nas conclusões abaixo. Eu só fiz no Excel porque eu não estou com papel e caneta por perto, sem contar que fica mais fácil de enxergar as coisas. A propósito, já está muito tarde eu estou cheia de sono. Amanhã eu tento finalizar se ninguém o fizer. Creio que este seja um caminho.



De início temos 1 e 2, ou seja, t e t+1. O número logo em seguida de 1 e 2 que aparecerá na tela será da forma t²+(t+1)² e 2t(t+1).

Note que a cada segundo, temos:

[latex]\mathrm{(x+y)=(3,9,81,...,3^{2^k})}[/latex]

Sendo os números consecutivos, vale:

[latex]\\\mathrm{N\acute{u}meros\ consecutivos: \frac{3^{2^k}-1}{2}\ e\ \frac{3^{2^k}+1}{2}}[/latex]

Do enunciado: "... Depois de aproximadamente quanto tempo um desses dois números vai ser maior do que a quantidade de átomos no planeta Terra ..."

[latex]\\\mathrm{\frac{3^{2^k}+1}{2}>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{k=6\to 3^{2^6}=(3^2)^{2^5}=9^{32}<10^{32}\ \therefore \ \frac{3^{2^6}+1}{2}<3^{2^6}<10^{32}}[/latex]

[latex]\mathrm{Note\ que:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{3^7>10^3\to (3^7)^{17}=3^{119}>10^{51}}\\
\mathrm{3^9>10^4\to (3^9)^{13}=3^{117}>10^{52}}\\
\mathrm{3^{11}>10^5\to 3^{121}>10^{55}}
\end{matrix}\right.\ \therefore \ k=7\to 3^{2^7}=3^{128}>10^{55}>10^{51}>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:3^{128}>10^{55}\to 3^{128}+1>10^{55}+1\to \frac{3^{128}+1}{2}>\frac{10^{55}+1}{2}>10^{50},pois\ 10^{55}>>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore Para\ k\in(6,7),isto\ \acute{e},para\ o\ tempo\approx 7\ s\to \frac{3^{2^k}+1}{2}>10^{50}\to Alternativa\ A}[/latex]

Acho que é isso.

Finalizei. Penso que seja isso.