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[OBM - Problema com soma]

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Resolvido [OBM - Problema com soma]

Mensagem por castelo_hsi Sáb 29 Jan - 23:49

Inicialmente, na tela de um computador, estão escritos os números 1 e 2. A cada segundo, esses dois números são trocados pela soma de seus quadrados e pelo dobro de seu produto. Depois de aproximadamente quanto tempo um desses dois números vai ser maior do que a quantidade de átomos no planeta Terra, que é cerca de [OBM - Problema com soma] Gif

A) Sete segundos 
B) Sete horas 
C) Sete dias 
D) Sete meses 
E) Sete anos

gabarito:


Última edição por castelo_hsi em Seg 31 Jan - 16:56, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: [OBM - Problema com soma]

Mensagem por Giovana Martins Dom 30 Jan - 0:56

Um esboço feito no Excel. É claro que você não precisaria do Excel para chegar nas conclusões abaixo. Eu só fiz no Excel porque eu não estou com papel e caneta por perto, sem contar que fica mais fácil de enxergar as coisas. A propósito, já está muito tarde eu estou cheia de sono. Amanhã eu tento finalizar se ninguém o fizer. Creio que este seja um caminho.

[OBM - Problema com soma] Scree292

De início temos 1 e 2, ou seja, t e t+1. O número logo em seguida de 1 e 2 que aparecerá na tela será da forma t²+(t+1)² e 2t(t+1).

Note que a cada segundo, temos:

[latex]\mathrm{(x+y)=(3,9,81,...,3^{2^k})}[/latex]

Sendo os números consecutivos, vale:

[latex]\\\mathrm{N\acute{u}meros\ consecutivos: \frac{3^{2^k}-1}{2}\ e\ \frac{3^{2^k}+1}{2}}[/latex]

Do enunciado: "... Depois de aproximadamente quanto tempo um desses dois números vai ser maior do que a quantidade de átomos no planeta Terra ..."

[latex]\\\mathrm{\frac{3^{2^k}+1}{2}>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{k=6\to 3^{2^6}=(3^2)^{2^5}=9^{32}<10^{32}\ \therefore \ \frac{3^{2^6}+1}{2}<3^{2^6}<10^{32}}[/latex]

[latex]\mathrm{Note\ que:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{3^7>10^3\to (3^7)^{17}=3^{119}>10^{51}}\\
\mathrm{3^9>10^4\to (3^9)^{13}=3^{117}>10^{52}}\\
\mathrm{3^{11}>10^5\to 3^{121}>10^{55}}
\end{matrix}\right.\ \therefore \ k=7\to 3^{2^7}=3^{128}>10^{55}>10^{51}>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:3^{128}>10^{55}\to 3^{128}+1>10^{55}+1\to \frac{3^{128}+1}{2}>\frac{10^{55}+1}{2}>10^{50},pois\ 10^{55}>>10^{50}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore Para\ k\in(6,7),isto\ \acute{e},para\ o\ tempo\approx 7\ s\to \frac{3^{2^k}+1}{2}>10^{50}\to Alternativa\ A}[/latex]

Acho que é isso.


Última edição por Giovana Martins em Dom 30 Jan - 7:58, editado 4 vez(es)

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Resolvido Re: [OBM - Problema com soma]

Mensagem por Giovana Martins Dom 30 Jan - 7:59

Finalizei. Penso que seja isso.

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Resolvido Re: [OBM - Problema com soma]

Mensagem por aitchrpi Dom 30 Jan - 10:03

Da pra fazer assim também:


[latex]A(N+1) = 2\,S(N)\,A(N)[/latex]
[latex]S(N+1) = S(N)^2 + A(N)^2[/latex]

[latex]M(N) = A(N) + S(N)[/latex]
[latex]A(0) = 1\,\,\,\,\,S(0)=2[/latex]

Então

[latex]\left [A(N) + S(N)\right ]^2 = A(N)^2 + S(N)^2 + 2\,A(N)\,S(N) = A(N+1) + S(N+1)[/latex]

Logo, [latex]M(N+1) = M(N)^2\,\,\therefore\,\, M(N) = 3^{2^n}[/latex]


Pra garantir que pelo menos um deles é maior que 10^50, [latex]3^{2^n} >2\cdot10^{50}[/latex]
[latex]2^n\,log(3)>50+log(2)\,\,\therefore\,\,2^n > (50 + log(2))/log(3)[/latex]

Usando log(3) = 1/2, 2^n > 100, n = 7.

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Resolvido Re: [OBM - Problema com soma]

Mensagem por castelo_hsi Seg 31 Jan - 16:55

Excelente colegas, muitíssimo obrigado!  cheers

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