Integral dupla

por **Jader** Qui 29 maio 2014, 21:18

Calcular $\iint_{(S)}xydxdy$ , onde S é a região delimitada pelos eixos coordenados e pelo arco do astróide x = Rcos³t, y=Rsen³t (0 ≤ t ≤ π/2)

por Man Utd Sex 30 maio 2014, 01:40

Olá

A equação do astróide na forma cartesiana é : $\\\\\\ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=R^{\frac{2}{3}}$ , então : $\\\\\\y=\sqrt{(R^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^3}$

Se esboçares verá que : $\\\\\\ \int_{0}^{R} \; \int_{0}^{\sqrt{(R^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{3}}} \; xy \; dydx$ , então :

$\\\\\\ \int_{0}^{\sqrt{(R^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{3}}} \; xy \; dy=\left[ x*\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{(R^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{3}}}=\frac{x(1-x^{\frac{2}{3}})^{3}}{2} \\\\\\\\ \int_{0}^{R} \; \frac{x(R^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}})^{3}}{2}\; dx$

termine Very Happy

por **Jader** Sex 30 maio 2014, 11:21

Man, pode só me explicar mais datalhadamente como chegou na forma cartesiana do astróide? Porque meu professor não deu aula de integrais e passou trabalho de integrais pra nós fazermos --'

E tem outra forma de fazer esse problema? Pois a resposta da em função de R, que no caso a resposta é $\frac{R^{4}}{80}$

por Man Utd Sex 30 maio 2014, 13:55

Jader escreveu:Man, pode só me explicar mais datalhadamente como chegou na forma cartesiana do astróide? Porque meu professor não deu aula de integrais e passou trabalho de integrais pra nós fazermos --'

E tem outra forma de fazer esse problema? Pois a resposta da em função de R, que no caso a resposta é $\frac{R^{4}}{80}$

Olá

eu cheguei na equação cartesiana do astróide : $\\\\ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ pq percebi que a forma paramétrica é dada por $\\\\ x(t)=acos^{3}t \\ y(t)=asen^{3}t$ .Se quiser ver como se chega nesta fórmula procure no livro " Cálculo B -Diva Flemming " página 40 .

PS:Eu editei a minha mensagem, tinha errado ao supor que o raio é 1, o correto é raio R.E os limites de integração de "x" é de zero até R.Não sei se existe outra solução.

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