Equação Polinomial

A equação de coeficientes reais x^6+...-1tem certamente:
a) todas raízes imaginárias.
b) pelo menos duas raízes reais e nagativas.
c) todas raízes reais.
d) pelo menos duas raízes reais de sinais contrários.
e) duas raízes reais de produto positivo.

x^6 + ax^5 + bx^4 + cx³ + dx² + ex - 1 = 0

Relações de Girard ----> O produto das 6 raízes vale: x1*x2*.......x6 = - 1

1) Se existirem raízes racionais elas serão x1 = +1 e x2 = -1

Neste caso, o produto das demais 4 raízes deverá ser +1 e poderá acontecer:

1a) As demais 4 raízes são irracionais, por exemplo: x3 = V2, x4 = V2/2, x5 = V3, x6 = V3/3

1b) As demais 4 raízes são imaginárias, por exemplo: x3 = i, x4 = -i, x5 = i, x6 = -i

1c) Duas raízes são irracionais (x3 = V2, x4 = V2/2) e duas são complexas (x5 = i, x6 = -i)


2) Não existem raízes racionais:

2a) Todas as seis raízes são irracionais, por exemplo: x1 = V2, x2 = V2/2, x3 = V3, x4 = V3/3, x5 = V5, x6 = -V5/5

2b) Todas as seis raízes são imaginárias ---> impossível (neste caso o produto delas seria +1)

2c) Duas raízes são irracionais e quatro são imaginárias ou duas são imaginárias e quatro são irracionais.

Solução: alternativa D